Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno! Mi servirebbe una dritta per risolvere questo esercizio. Ecco la traccia:
Si dica se il seguente sottoinsieme di \(\displaystyle S_4 \)
{id, (1 3 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (2 3), (1 3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 2 3 4), (1 3 2 4), (2 1 3 4), (2 1 4 3)}
è o meno un sottogruppo di $S_4$.
Io so che la cardinalità di $S_4$ è 4! = 4*3*2 = 24. Il sottoinsieme ha cardinalità 12. Dato che 12 divide 24, il sottoinsieme potrebbe essere un sottogruppo di ...
Salve,
ho la seguente proposizione, ma avrei bisogno di ulteriori chiarimenti nella dimostrazione.
Proposizione:
Fissato $n>1$, si hanno esattamente n classi di equivalenza distinte, che possono essere rappresentate dai numeri 0,1,...,n-1. L'insieme di queste classi di congruenza è indicato con il simbolo $\mathbb{Z}_{n}$ e viene usualmente chiamato "insieme delle classi di resti modulo n".
Dimostrazione:
Sia $x \in \mathbb{Z}$, per l'algoritmo della divisione, esistono e sono ...
Buongiorno,
studiando la teoria di Galois, mi sono imbattuto nella seguente domanda: $ QQsub QQ(root(3)(2) ) $ è estensione di Galois?
Detta $F=QQsub QQ(root(3)(2) )$ ho cercato di studiare il suo gruppo di Galois, che indico con $Gal(F//QQ)={phi in Aut(F): phi| K=id_K} $.
$F$ è estensione di grado $3$. Una sua $QQ$-base è data da $1,root(3)(2),(root(3)(2))^2$.
Pertanto $F={a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2: a,b,c in QQ}$.
Preso un $phi in Aut(F)$ abbiamo che $phi(a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2)=a+bphi(root(3)(2)) + cphi(root(3)(2) )^2)$.
Ma $phi( root(3)(2) )^3=2$, per cui $phi(root(3)(2))=root(3)(2)$ e ...
Ho alcuni problemi con il seguente esercizio
Considerare la relazione r su Z tale che xRy se e solo se $ x^2 <= y^2$.
Stabilire se si tratta di una relazione d'ordine.
Questo è il mio svolgimento ma la soluzione del mio professore è diversa e non capisco il motivo.
Partendo dalla teoria sappiamo che una relazione si dice d'ordine (largo) se verifica la proprietà:
(1):Riflessiva: $ x^2 <= x^2$ Verificata
(2):Asimmetrica: $ x^2 <= y^2$ e $ y^2 <= x^2$se e soltanto se ...
Mi sono reso conto che ho un problema sulla definizione dell'implicazione.
Non riesco a capire perché $p=>q$ si è stabilito che è vero con $p$ falso e $q$ vero oppure entrambi falsi.
Sareste in grado di aiutarmi?
Ciao, volevo chiedere aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Si dimostri per induzione su $n in N$ che, per ogni intero $n>=5$ vale:
$2^n > n^2 -1/2 $. Si calcoli inoltre il minimo intero $m in N$ per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni $n>=m$.
Io parto verificando che la disequazione P(0) in $n=5$ sia vera, ed infatti lo è:
$2^5 > 5^2 - 1/2$ => $64/2 > 49/2 $
Proseguendo verifico $P(n+1):<br />
$2^(n+1) > ...
Se ho un numero $N$ di $n$ cifre, è vero che il numero di cifre di $N^m$ è $mn$, con $m \in \mathbb{N}$?
Se è vero, sapete come si dimostra?
Grazie mille.
Gentili tutti non riesco a risolvere questo esercizio potete aiutarmi? Grazie!
Show that a necessary and sufficient condition for the pair of congruences x ≡ a (mod m), x ≡ b (mod n) to have a solution is that a ≡ b (mod d), where d = (m,n). If d=1, show that the solution is unique modulo mn.
L'esercizio 4.13 dell'Algebra di Di Martino dice: dati \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \), dimostrare che \(\displaystyle ab = 0 \) se e solo se \(\displaystyle a=0 \) o \(\displaystyle b =0 \).
Se conoscete un buon libro o qualche risorsa online dove vengono dimostrate questa e altre proprieta' base degli interi fatemi sapere, perche' ho provato a cercare un po' con Google ma non ho trovato niente che mi andasse bene. Una possibile dimostrazione e' la seguente:
Sia \(\displaystyle ab = 0 ...
Ciao a tutti, l'esame di Matematica Discreta si avvicina e purtroppo continuo ad avere dubbi esistenziali!!
Mi scuso in anticipo per la quantità di esercizi che propongo e se impiego più del tempo a capirli ma sono uno studente lavoratore e purtroppo in questo semestre, causa orari di lavoro che coincidono con le lezioni, non riesco a frequentare e sono costretto a studiare tramite le dispense del corso (che non sono fatte dal mio prof. quindi molte volte deviano da quello che lui propone sul ...
Ciao a tutti, non so se sia la sezione giusta ma non sapevo dove altro metterla.
All'università abbiamo trattato il "problema della buona definizione" cosi l'ha definito la mia professoressa.
Sostanzialmente si tratta di verificare se una equazione data è una funzione.
Esempio
Provare che $f:(ZZ_6, +)\rightarrow(S_10, ○)$ dato da $f([a]) = sigma^a$ è una funzione.
La permutazione che consideriamo in $S_10$ ha periodo $6$ ed è la seguente:
$(1 5 10)(2 4 6 8 3 7)$
Quel che ho capito è che ...
Ciao a tutti, nel seguente esercizio è sufficiente quello che ho scritto per dimostrare l'unicità di f?
Si dimostri che esiste un unico endomorfismo f del monoide [tex]( \mathbb{R}, \cdot)[/tex] tale che f(0) = 0 e f(x) = -1 se x < 0.
Se a > 0 si ha -1 = f(-a) = f(-1) f(a) = -f(a) da cui f(a) = 1, e quindi la funzione definita così:
f(x) = -1 se x < 0
f(x) = 0 se x = 0
f(x) = 1 se x> 0
che, si può dimostrare (ma questo lo so fare) è un endomorfismo di monoidi, è l'unica che soddisfa alle ...
Ciao a tutti,
ho un problema con questa dimostrazione. Ecco il quesito.
"Dimostrare per induzione che $ n! \geq 2^(n-1) $ per ogni $ n \geq 1 $."
Questo è il mio procedimento, ma ad un certo punto non riesco più ad andare avanti.
Base dell'induzione: $ n = 1 $ quindi $ 1! \geq 2^0 $ cioè $ 1 \geq 1 $.
Suppongo che $ n! \geq 2^(n-1) $ e dimostro che $ (n+1)! \geq 2^((n+1)-1) $.
$ (n+1)! $ si può scrivere anche come $ (n+1)n! $ quindi diventa $ (n+1)n! \geq 2^((n+1)-1) $.
Ora come ...
ciao a tutti,
mi scuso fin da ora per la domanda, ma non potendo seguire le lezioni spesso mi blocco in cose per molti ovvie.
Da quello che ho capito, esistono metodi furbi per poter calcolare le potenze delle congruenze.
Studiano ho visto che ogni numero può essere espresso come potenza di due:
$a=2^{k_1}+2^{k_2}+2^{k_3}....$, giusto?
a questo punto però le cose cominciano a non essermi chiare.
In particolare dovrei risolvere il seguente esercizio:
calcolare $271^{321} (mod 481)$.
Nell'esercizio si fa notare ...
Salve, ho un problema con questo teorema che non riesco (in parte a dimostrare) e di conseguenza (in parte) a capire. L'enunciato è il seguente:
Sia [tex]f : A \rightarrow B[/tex] un'applicazione qualsiasi. Esiste allora un insieme [tex]C[/tex] e due applicazioni [tex]f_s: A \rightarrow C[/tex] (surgettiva) ed [tex]f_i: C \rightarrow B[/tex](iniettiva) tali che [tex]f_i \circ f_s = f[/tex].
Inoltre se esiste un insieme [tex]D[/tex]tale che esistono altre 2 applicazioni [tex]\overline{f_s} ...
Ciao a tutti, è il mio primo post sul forum.
Non riesco a dimostrare la suriettività di un isomorfismo riguardo una proprietà universale sugli anelli gruppali.
Visto che non sono una struttura così comune, ricordo la definizione di anello gruppale che è piuttosto semplice, dato un gruppo $G$ e un anello unitario $R$, l'anello gruppale $RG$ è l'anello delle somme formali finite, ovvero elementi della forma:
$$ \alpha = \sum_{g\in ...
Ciao a tutti,
non riesco a capire come svolgere il seguente esercizio :
Utilizzando il teorema di Fermat dire per quali n∈Z il numero 9$n^30$+4$n^21$+7$n^11$+2 è multiplo di 11.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Questa è la traccia.
1)
Nel monoide $(N^N, @ )$ delle applicazioni di $N$ in $N$ ( dove $@$ è l'ordinaria operazione di composizione tra applicazioni ) si consideri la parte $F={f in N^N : f $ è biettiva e $f(1)=1}$.
(i) Verificare che $F$ è una parte chiusa di $(N^N,@)$
(ii) Rispetto all'operazione indotta, $F$ è un gruppo?
(iii) Dare un esempio di applicazione non identica $ginF$ e costruirne ...
Questa è la traccia.
1)
Dire per quali coppie $ (a,b) in Z xx Z $ esistono quoziente e resto e come questi sono definiti (enunciare il relativo teorema).
Dato un campo $ F $ , dire per quali coppie $ (f,g) in F[x] xx F[x] $ esistono quoziente e resto e come questi sono definiti (enunciare il relativo teorema).
Determinare quoziente e resto nella divisione (in $ Z $) di $ a $ per $ b $ in ciascuno dei seguenti casi:
(i) $ a=15, b=4 $
(ii) ...
Buonasera!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle p \) un primo dispari. Dimostrare che se esiste un intero \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle p|(x^4+1) \), allora \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).
Per adesso ho ragionato così:
anzitutto ho osservato che \(\displaystyle x^4+1 \) è riducibile per ogni primo \(\displaystyle p \) dispari.
Infatti:
[*:303f0ig6]se \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \(\displaystyle p \equiv 7 ...
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