Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutti, sto avendo qualche difficoltà nel determinare il resto delle divisioni utilizzando Eulero e il piccolo teorema Fermat. Innanzitutto non ho ben capito quando utilizzare uno piuttosto che l'altro e nei vari esercizi che sto svolgendo, ce n'è uno che non riesco a svolgere ed è questo: Determina il resto della divisione di $ 132575^2012 per 9 $ Grazie in anticipo. PS. Il risultato su WolframAlpha è 7.

Non riesco a svolgere nè il punto b) nè il punto c) Per quanto riguarda il punto b) Gli elementi di $S4$ dovrebbero essere ${[0][1][2][3]}$ giusto? Da qui mi viene da pensare che devo calcolare l'insieme di tutti gli interi tali che, divisi per $n$, danno lo stesso resto dalla divisione di $ a/n $ . Però non riesco ad ottenere nessun risultato simile alle soluzioni c) La soluzione dice che $S4$ ha 4!=24 elementi e l'insieme ...

Ragazzi , mi sto preparando per l'esame di matematica discreta e non riesco a capire come svolgere questo esercizio. Dimostrare che questa funzione è iniettiva: f:N--->N tale che f(n)=n^2+2n+3 Ringrazio anticipatamente chi mi risponde

Mi sto chiedendo da qualche giorno se sia possibile una situazione del genere: $x={x}$, con $x ne \emptyset$ ovvero $x in x$. Poi iterando avrei $x={x}={{x}}=...$. Potreste aiutarmi a chiarire? Può darsi che mi sia sfuggito qualcosa... Grazie

Ciao a tutti, volevo sapere se questa dimostrazione è corretta; l'ho risolta in due modalità diverse. Dimostrare per induzione che $ n! ≥ 2^(n-1) $ per ogni $ n ≥ 1 $. Suppongo che $ n! ≥ 2^(n-1) $ e dimostro che $ (n+1)! ≥ 2^((n+1)-1) $ Metodo 1 $ (n+1) n! ≥ 2^((n-1)+1) $ --> $ (n+1) (2^(n-1)) ≥ (2^(n-1)) 2$ Basta dimostrare che $ n+1 ≥ 2 $ che è vera per ogni $ n ≥ 1 $. Metodo 2 $ (n+1) n! ≥ 2^n $ , che, sostituendo n = 1, è vera per ogni $ n ≥ 1 $. Quale dei due metodi è quello "più ...

Buon pomeriggio,mi sto scervellando su un esercizio molto semplice ma che non riesco proprio a capire. In pratica riesco a risolvere esercizi sul principio di induzione che riguardano uguaglianze,ma non riesco a capire il ragionamento nel caso di disuguaglianze.Mi basta anche un solo esempio.L'esercizio è il seguente: Dimostrare per ogni n maggiore di 4 che $ 2^n > n^2 $ Innanzittuo verifico la Base d'induzione: $2^5 >5^2 -> 32 > 25 $ che è verificata. Procedo con il Passo induttivo: ...

Ciao a tutti, non mi sono chiari alcuni passaggi di questo esercizio (segnalati in foto con la stella). Correggetemi se sbaglio ; inizio a svolgere l'esercizio considerando che se B è sottoinsieme di A allora A - B è uguale all'insieme complementare di B rispetto ad A (stesso ragionamento per B-A) quindi procedo riscrivendo il tutto come $ (A ∩ cB) ∪ (B ∩ cA) $ Poi applico la regola di distributività e arrivo al passaggio 3 dove mi blocco. La soluzione fa scomparire la seconda e la terza ...

Salve, avrei due dubbi nella risoluzione di alcuni esercizi riguardanti i due argomenti in titolo i) Iniziamo su quello sui polinomi ciclotomici (che a dir la verità non ho molto chiari, quindi è molto possibile che dica qualche cosaccia ) Sia $p(x)=x^2+1 in Z11[x]$. Trovare il campo di spezzamento di tale polinomio. Tale polinomio è irriducibile poiché non ha radici e dunque spezza in $ F11[x]/(p(x)) $ (campo isomorfo al campo di spezzamento, con 121 elementi). Quindi trovare in nel campo di ...

Ciao a tutti, volevo sapere se questa dimostrazione è corretta. Dimostrare che $ n^2 ≥ 2n + 5 $ per ogni $ n ≥ 4 $. Base dell'induzione $ n = 4 $ quindi $ 16 ≥ 13 $. Suppongo che $ n^2 ≥ 2n + 5 $ e dimostro che $ (n+1)^2 ≥ 2(n+1) + 5 $ $ (n+1)^2 ≥ 2(n+1) + 5 $ --> $ n^2 + 2n + 1 ≥ 2n + 2 + 5 $ --> $ n^2 ≥ 6 $ dimostro quindi che $ 2n + 5 ≥ 6 $ --> $ 2n ≥ 1 $ che vale per ogni $ n ≥ 4 $.

Salve, mi sono ritrovato alle prese con un esercizio di algebra che mi ha messo leggermente in crisi. Sia $sigma=sqrt(2)+root(3)(3)$ Trovarne il polinomio minimo in $Q(sqrt(2))$ e una base della estensione di tale campo in $Q(sigma)$ Adesso illustro il mio ragionamento. L'intuito mi suggerisce che tale polinomio debba avere grado 3. In effetti, trovo tale polinomio smanettando un poco coi numeri di cui sigma è zero. $p(x)=x^3-3sqrt(2)x^2+6x-(2sqrt(2)+3)$ Adesso, se dimostro che tale polinomio è irriducibile ho ...

Buongiorno! Mi servirebbe una dritta per risolvere questo esercizio. Ecco la traccia: Si dica se il seguente sottoinsieme di \(\displaystyle S_4 \) {id, (1 3 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (2 3), (1 3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 2 3 4), (1 3 2 4), (2 1 3 4), (2 1 4 3)} è o meno un sottogruppo di $S_4$. Io so che la cardinalità di $S_4$ è 4! = 4*3*2 = 24. Il sottoinsieme ha cardinalità 12. Dato che 12 divide 24, il sottoinsieme potrebbe essere un sottogruppo di ...

Salve, ho la seguente proposizione, ma avrei bisogno di ulteriori chiarimenti nella dimostrazione. Proposizione: Fissato $n>1$, si hanno esattamente n classi di equivalenza distinte, che possono essere rappresentate dai numeri 0,1,...,n-1. L'insieme di queste classi di congruenza è indicato con il simbolo $\mathbb{Z}_{n}$ e viene usualmente chiamato "insieme delle classi di resti modulo n". Dimostrazione: Sia $x \in \mathbb{Z}$, per l'algoritmo della divisione, esistono e sono ...

Buongiorno, studiando la teoria di Galois, mi sono imbattuto nella seguente domanda: $ QQsub QQ(root(3)(2) ) $ è estensione di Galois? Detta $F=QQsub QQ(root(3)(2) )$ ho cercato di studiare il suo gruppo di Galois, che indico con $Gal(F//QQ)={phi in Aut(F): phi| K=id_K} $. $F$ è estensione di grado $3$. Una sua $QQ$-base è data da $1,root(3)(2),(root(3)(2))^2$. Pertanto $F={a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2: a,b,c in QQ}$. Preso un $phi in Aut(F)$ abbiamo che $phi(a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2)=a+bphi(root(3)(2)) + cphi(root(3)(2) )^2)$. Ma $phi( root(3)(2) )^3=2$, per cui $phi(root(3)(2))=root(3)(2)$ e ...

Ho alcuni problemi con il seguente esercizio Considerare la relazione r su Z tale che xRy se e solo se $ x^2 <= y^2$. Stabilire se si tratta di una relazione d'ordine. Questo è il mio svolgimento ma la soluzione del mio professore è diversa e non capisco il motivo. Partendo dalla teoria sappiamo che una relazione si dice d'ordine (largo) se verifica la proprietà: (1):Riflessiva: $ x^2 <= x^2$ Verificata (2):Asimmetrica: $ x^2 <= y^2$ e $ y^2 <= x^2$se e soltanto se ...

Mi sono reso conto che ho un problema sulla definizione dell'implicazione. Non riesco a capire perché $p=>q$ si è stabilito che è vero con $p$ falso e $q$ vero oppure entrambi falsi. Sareste in grado di aiutarmi?

Ciao, volevo chiedere aiuto per risolvere il seguente esercizio: Si dimostri per induzione su $n in N$ che, per ogni intero $n>=5$ vale: $2^n > n^2 -1/2 $. Si calcoli inoltre il minimo intero $m in N$ per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni $n>=m$. Io parto verificando che la disequazione P(0) in $n=5$ sia vera, ed infatti lo è: $2^5 > 5^2 - 1/2$ => $64/2 > 49/2 $ Proseguendo verifico $P(n+1):<br /> $2^(n+1) > ...

Se ho un numero $N$ di $n$ cifre, è vero che il numero di cifre di $N^m$ è $mn$, con $m \in \mathbb{N}$? Se è vero, sapete come si dimostra? Grazie mille.

Gentili tutti non riesco a risolvere questo esercizio potete aiutarmi? Grazie! Show that a necessary and sufficient condition for the pair of congruences x ≡ a (mod m), x ≡ b (mod n) to have a solution is that a ≡ b (mod d), where d = (m,n). If d=1, show that the solution is unique modulo mn.

L'esercizio 4.13 dell'Algebra di Di Martino dice: dati \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \), dimostrare che \(\displaystyle ab = 0 \) se e solo se \(\displaystyle a=0 \) o \(\displaystyle b =0 \). Se conoscete un buon libro o qualche risorsa online dove vengono dimostrate questa e altre proprieta' base degli interi fatemi sapere, perche' ho provato a cercare un po' con Google ma non ho trovato niente che mi andasse bene. Una possibile dimostrazione e' la seguente: Sia \(\displaystyle ab = 0 ...

Ciao a tutti, l'esame di Matematica Discreta si avvicina e purtroppo continuo ad avere dubbi esistenziali!! Mi scuso in anticipo per la quantità di esercizi che propongo e se impiego più del tempo a capirli ma sono uno studente lavoratore e purtroppo in questo semestre, causa orari di lavoro che coincidono con le lezioni, non riesco a frequentare e sono costretto a studiare tramite le dispense del corso (che non sono fatte dal mio prof. quindi molte volte deviano da quello che lui propone sul ...