DIMOSTRAZIONE per induzione
Ciao a tutti,
ho un problema con questa dimostrazione. Ecco il quesito.
"Dimostrare per induzione che $ n! \geq 2^(n-1) $ per ogni $ n \geq 1 $."
Questo è il mio procedimento, ma ad un certo punto non riesco più ad andare avanti.
Base dell'induzione: $ n = 1 $ quindi $ 1! \geq 2^0 $ cioè $ 1 \geq 1 $.
Suppongo che $ n! \geq 2^(n-1) $ e dimostro che $ (n+1)! \geq 2^((n+1)-1) $.
$ (n+1)! $ si può scrivere anche come $ (n+1)n! $ quindi diventa $ (n+1)n! \geq 2^((n+1)-1) $.
Ora come posso fare? Dovrei avere come primo membro della disequazione solo $ n! $ in modo che sia uguale al primo membro della disequazione data dall'ipotesi induttiva, ma non so come arrivarci. Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
ho un problema con questa dimostrazione. Ecco il quesito.
"Dimostrare per induzione che $ n! \geq 2^(n-1) $ per ogni $ n \geq 1 $."
Questo è il mio procedimento, ma ad un certo punto non riesco più ad andare avanti.
Base dell'induzione: $ n = 1 $ quindi $ 1! \geq 2^0 $ cioè $ 1 \geq 1 $.
Suppongo che $ n! \geq 2^(n-1) $ e dimostro che $ (n+1)! \geq 2^((n+1)-1) $.
$ (n+1)! $ si può scrivere anche come $ (n+1)n! $ quindi diventa $ (n+1)n! \geq 2^((n+1)-1) $.
Ora come posso fare? Dovrei avere come primo membro della disequazione solo $ n! $ in modo che sia uguale al primo membro della disequazione data dall'ipotesi induttiva, ma non so come arrivarci. Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Risposte
$(n+1)! = (n+1) * n! >= (n+1)* 2^(n-1) >= 2* 2^(n-1) = 2^n$
"Gi8":
$(n+1)! = (n+1) * n! >= (n+1)* 2^(n-1) >= 2* 2^(n-1) = 2^n$
Quello che hai scritto equivale a questo?
$ (n+1) 2^(n-1) \geq 2^n $
Infatti se sostituisco a ciò la base dell'induzione, ossia 1, ottengo $ 2 \geq 2 $, e quindi vale per ogni $ n \geq 2 $.
Finisce così?
si perchè per ipotesi n >= 1 e quindi n+1 >= 2
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