Estensioni di Galois

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feddy

22 dic 2016, 18:16

Buongiorno,

studiando la teoria di Galois, mi sono imbattuto nella seguente domanda: $ QQsub QQ(root(3)(2) ) $ è estensione di Galois?

Detta $F=QQsub QQ(root(3)(2) )$ ho cercato di studiare il suo gruppo di Galois, che indico con $Gal(F//QQ)={phi in Aut(F): phi| K=id_K} $.
$F$ è estensione di grado $3$. Una sua $QQ$-base è data da $1,root(3)(2),(root(3)(2))^2$.

Pertanto $F={a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2: a,b,c in QQ}$.

Preso un $phi in Aut(F)$ abbiamo che $phi(a+broot(3)(2) +c(root(3)(2) )^2)=a+bphi(root(3)(2)) + cphi(root(3)(2) )^2)$.
Ma $phi( root(3)(2) )^3=2$, per cui $phi(root(3)(2))=root(3)(2)$ e dunque $phi=id_K$.

Quindi $|Gal(F//QQ)|=1$ (c'è solo l'identità).

Pertanto non è estensione di Galois poiché per questa estensione finita non vale $[F]=3!=1=|Gal(F//K)|$.

E' corretto?