Numero cifre di una potenza
Se ho un numero $N$ di $n$ cifre, è vero che il numero di cifre di $N^m$ è $mn$, con $m \in \mathbb{N}$?
Se è vero, sapete come si dimostra?
Grazie mille.
Se è vero, sapete come si dimostra?
Grazie mille.
Risposte
$4^2=16$.
Questo è un caso dei tanti. Però potrebbe esistere un controesempio, per questo mi interessa la dimostrazione. Potrebbe ridursi considerando $N$ come sotto
\(\displaystyle {\underbrace{999\cdots 9}_{n \mbox{ volte}}}^m \)
Poiché un numero di $n$ cifre è minore o uguale a $\underbrace{999\cdots 9}_{n \mbox{ volte}}$.
\(\displaystyle {\underbrace{999\cdots 9}_{n \mbox{ volte}}}^m \)
Poiché un numero di $n$ cifre è minore o uguale a $\underbrace{999\cdots 9}_{n \mbox{ volte}}$.
Per sapere da quante cifre (in base \( 10 \)) è costituito \( n^{m} \) con \( n, m \in \mathbb{N} \) devi usare i logaritmi decimali.
Quindi non è vero che le cifre di $n^m$ sono $mn$ massimo?
Avere al massimo $k$ cifre significa essere minori di $10^k$.
Quindi se $N$ ha $n$ cifre allora $N < 10^n$ quindi $N^m < (10^n)^m = 10^{nm}$ per cui $N^m$ ha meno di $nm$ cifre.
Quindi se $N$ ha $n$ cifre allora $N < 10^n$ quindi $N^m < (10^n)^m = 10^{nm}$ per cui $N^m$ ha meno di $nm$ cifre.
Grande Martino! Ti ringrazio per l'aiuto, questo cercavo. Vedo in pratica che era anche semplice la dimostrazione. Pertanto è vero che $N^m$ ha massimo $mn$ cifre.
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