Endomorfismi di monoidi

[marco.ve1]

Ciao a tutti, nel seguente esercizio è sufficiente quello che ho scritto per dimostrare l'unicità di f?

Si dimostri che esiste un unico endomorfismo f del monoide [tex]( \mathbb{R}, \cdot)[/tex] tale che f(0) = 0 e f(x) = -1 se x < 0.

Se a > 0 si ha -1 = f(-a) = f(-1) f(a) = -f(a) da cui f(a) = 1, e quindi la funzione definita così:

f(x) = -1 se x < 0
f(x) = 0 se x = 0
f(x) = 1 se x> 0
che, si può dimostrare (ma questo lo so fare) è un endomorfismo di monoidi, è l'unica che soddisfa alle ipotesi.

grazie in anticipo

[bobus1]

Nella dimostrazione dovresti specificare che parti assumendo che \(\displaystyle f \) sia un endomorfismo del monoide con le due proprieta' date.
Il fatto che \(\displaystyle f \) sia un endomorfismo serve in questo passaggio
\(\displaystyle f(-a) = f(-1) f(a) \).
Come hai mostrato, poi si arriva a definire \(\displaystyle f \) per tutti i valori di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in maniera univoca e quindi hai finito.