Principio di induzione - disequazione
Ciao, volevo chiedere aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Si dimostri per induzione su $n in N$ che, per ogni intero $n>=5$ vale:
$2^n > n^2 -1/2 $. Si calcoli inoltre il minimo intero $m in N$ per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni $n>=m$.
Io parto verificando che la disequazione P(0) in $n=5$ sia vera, ed infatti lo è:
$2^5 > 5^2 - 1/2$ => $64/2 > 49/2 $
Proseguendo verifico $P(n+1):
$2^(n+1) > (n+1)^2 - 1/2 $
$2*2^n > n^2 + 2^n + 1/2$
Per ipotesi, $2*2^n > 2*(n^2 - 1/2)$, quindi assumo che:
$2*(n^2-1/2) >= n^2 +2*n + 1/2$
$n^2-2*n>3/2$
Fin qui è corretto? Poi come proseguo?
Grazie mille!
Giampaolo
Si dimostri per induzione su $n in N$ che, per ogni intero $n>=5$ vale:
$2^n > n^2 -1/2 $. Si calcoli inoltre il minimo intero $m in N$ per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni $n>=m$.
Io parto verificando che la disequazione P(0) in $n=5$ sia vera, ed infatti lo è:
$2^5 > 5^2 - 1/2$ => $64/2 > 49/2 $
Proseguendo verifico $P(n+1):
$2^(n+1) > (n+1)^2 - 1/2 $
$2*2^n > n^2 + 2^n + 1/2$
Per ipotesi, $2*2^n > 2*(n^2 - 1/2)$, quindi assumo che:
$2*(n^2-1/2) >= n^2 +2*n + 1/2$
$n^2-2*n>3/2$
Fin qui è corretto? Poi come proseguo?
Grazie mille!
Giampaolo
Risposte
Direi che ti stai un po' complicando la vita.
Una base di induzione ce l'hai (ed è 5 come hai detto).
Ora devi supporre vero che $2^n > n^2 -1/2 $
e dimostrare che ciò vale per $n+1$ e cioè che $2^(n+1) > (n+1)^2 - 1/2 $.
Per farlo non scrivere la disuguaglianza che devi dimostrare, ma scrivi solo il primo pezzo di essa e modificalo fino ad arrivare a ciò che vuoi.
Cioè:
$2^(n+1) =2*2^n$
Applichi ora l'ipotesi di induzione e hai
$2^(n+1) =2*2^n>2*(n^2-1/2)=2*((n+1-1)^2-1/2)=2*((n+1)^2+1-2(n+1)-1/2)=(n+1)^2-1/2+((n+1)^2-1/2+2-4(n+1))$
Ti basta quindi che sia $(n+1)^2-1/2+2-4(n+1)>=0$ cioè $(n+1)^2-4(n+1)+3/2>=0$
e quindi ti basta $(n+1)^2-4(n+1)+1>=0$
Se poni quindi $x=n+1$ ti basta vedere se per x abbastanza grande (cioè per n abbastanza grande) è vero che $x^2-4x+1>0$
Se risolvi tale disequazione trovi $x<=2-sqrt(3)$ o $x>2+sqrt(3)$.
Quindi se $n+1>=2+sqrt(3)$ cioè se $n+1>=4$ cioè se $n>=3$ allora vale il tutto, e hai anche trovato il minimo $n$ per cui vale
Una base di induzione ce l'hai (ed è 5 come hai detto).
Ora devi supporre vero che $2^n > n^2 -1/2 $
e dimostrare che ciò vale per $n+1$ e cioè che $2^(n+1) > (n+1)^2 - 1/2 $.
Per farlo non scrivere la disuguaglianza che devi dimostrare, ma scrivi solo il primo pezzo di essa e modificalo fino ad arrivare a ciò che vuoi.
Cioè:
$2^(n+1) =2*2^n$
Applichi ora l'ipotesi di induzione e hai
$2^(n+1) =2*2^n>2*(n^2-1/2)=2*((n+1-1)^2-1/2)=2*((n+1)^2+1-2(n+1)-1/2)=(n+1)^2-1/2+((n+1)^2-1/2+2-4(n+1))$
Ti basta quindi che sia $(n+1)^2-1/2+2-4(n+1)>=0$ cioè $(n+1)^2-4(n+1)+3/2>=0$
e quindi ti basta $(n+1)^2-4(n+1)+1>=0$
Se poni quindi $x=n+1$ ti basta vedere se per x abbastanza grande (cioè per n abbastanza grande) è vero che $x^2-4x+1>0$
Se risolvi tale disequazione trovi $x<=2-sqrt(3)$ o $x>2+sqrt(3)$.
Quindi se $n+1>=2+sqrt(3)$ cioè se $n+1>=4$ cioè se $n>=3$ allora vale il tutto, e hai anche trovato il minimo $n$ per cui vale
Salve ragazzi,so che è una discussione vecchia ma mi servirebbe un chiarimento [formule] 2*((n+1)^2+1-2(n+1)-1/2)=(n+1)^2-1/2+((n+1)^2-1/2+2-4(n+1)) $[/formule]
Da dove esce quel [formule]-2(n+1)[/formule]? Non riesco quindi a capire i passaggi successivi
Da dove esce quel [formule]-2(n+1)[/formule]? Non riesco quindi a capire i passaggi successivi
Per la seconda domanda ha svolto il quadrato, per la prima ha effettuato la moltiplicazione ed ha tirato poi fuori un $(n+1)^2-1/2$.
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