Fissato n>1, si hanno esattamente n classi di equivalenza distinte da 0 a n-1.
Salve,
ho la seguente proposizione, ma avrei bisogno di ulteriori chiarimenti nella dimostrazione.
Proposizione:
Fissato $n>1$, si hanno esattamente n classi di equivalenza distinte, che possono essere rappresentate dai numeri 0,1,...,n-1. L'insieme di queste classi di congruenza è indicato con il simbolo $\mathbb{Z}_{n}$ e viene usualmente chiamato "insieme delle classi di resti modulo n".
Dimostrazione:
Sia $x \in \mathbb{Z}$, per l'algoritmo della divisione, esistono e sono unici $q,r \in \mathbb{Z}$ tali che $x = nq+r$ con $0 \le r < n$.
Si ha quindi che $x \equiv r \mbox{ (mod n)}$, cioè $[x]_n = [r]_n$.
D'altro canto, due classi $[x]_n = [y]_n$ con $0 \le x < y < n$ sono sempre distinte.
Infatti se $[x]_n = [y]_n$ avremmo $x \equiv y \mbox{ (mod n)}$ cioè $n|(x-y)$.
Poichè $x,y$ sono entrambi minori di $n$, l'unicca soluzione è $x-y = 0$ cioè $x=y$.
Qui è chiaro infatti tenendo conto della definizione di divisibilità,
\(\displaystyle x = nq+r \Rightarrow \\
x-r = nq \Rightarrow \\
n|(x-r) \Rightarrow \\
x \equiv r \mbox{ (mod n) } \)
la parte successiva non mi è chiara, potreste cortesemente spiegarmela meglio?
Grazie mille per la vostra pazienza!
ho la seguente proposizione, ma avrei bisogno di ulteriori chiarimenti nella dimostrazione.
Proposizione:
Fissato $n>1$, si hanno esattamente n classi di equivalenza distinte, che possono essere rappresentate dai numeri 0,1,...,n-1. L'insieme di queste classi di congruenza è indicato con il simbolo $\mathbb{Z}_{n}$ e viene usualmente chiamato "insieme delle classi di resti modulo n".
Dimostrazione:
Sia $x \in \mathbb{Z}$, per l'algoritmo della divisione, esistono e sono unici $q,r \in \mathbb{Z}$ tali che $x = nq+r$ con $0 \le r < n$.
Si ha quindi che $x \equiv r \mbox{ (mod n)}$, cioè $[x]_n = [r]_n$.
D'altro canto, due classi $[x]_n = [y]_n$ con $0 \le x < y < n$ sono sempre distinte.
Infatti se $[x]_n = [y]_n$ avremmo $x \equiv y \mbox{ (mod n)}$ cioè $n|(x-y)$.
Poichè $x,y$ sono entrambi minori di $n$, l'unicca soluzione è $x-y = 0$ cioè $x=y$.
Sia $x \in \mathbb{Z}$, per l'algoritmo della divisione, esistono e sono unici $q,r \in \mathbb{Z}$ tali che $x = nq+r$ con $0 \le r < n$.
Si ha quindi che $x \equiv r \mbox{ (mod n)}$, cioè $[x]_n = [r]_n$.
Qui è chiaro infatti tenendo conto della definizione di divisibilità,
\(\displaystyle x = nq+r \Rightarrow \\
x-r = nq \Rightarrow \\
n|(x-r) \Rightarrow \\
x \equiv r \mbox{ (mod n) } \)
la parte successiva non mi è chiara, potreste cortesemente spiegarmela meglio?
D'altro canto, due classi $[x]_n = [y]_n$ con $0 \le x < y < n$ sono sempre distinte.
Infatti se $[x]_n = [y]_n$ avremmo $x \equiv y \mbox{ (mod n)}$ cioè $n|(x-y)$.
Poichè $x,y$ sono entrambi minori di $n$, l'unicca soluzione è $x-y = 0$ cioè $x=y$.
Grazie mille per la vostra pazienza!
Risposte
Rispondo alla parte che dici di non aver compreso a pieno.
Nell'anello degli interi, modulo l'ideale $(nZZ)$, se $[x]_n=[y]_n$, cioè se le classi sono uguali si deve avere che $x-y in nZZ$[nota]Più in generale, in un anello quoziente $R$ modulo l'ideale $I$, e si scrive $R//I$, due classi $x$ e $y$ sono uguali se e solo se $x-y in I$.[/nota]. Ossia, $n|(x-y)$. Cioè $x-y=nZZ$ per un certo $n$.
Ma, per ipotesi, $x$ e $y$ sono sempre minori di $n$ e maggiori di $0$, e dunque una loro differenza non potrà mai dare un multiplo relativo di $n$, se non $0$. Cioè $x-y=0$, da cui $x=y$
Spero di essermi espresso in modo chiaro
Nell'anello degli interi, modulo l'ideale $(nZZ)$, se $[x]_n=[y]_n$, cioè se le classi sono uguali si deve avere che $x-y in nZZ$[nota]Più in generale, in un anello quoziente $R$ modulo l'ideale $I$, e si scrive $R//I$, due classi $x$ e $y$ sono uguali se e solo se $x-y in I$.[/nota]. Ossia, $n|(x-y)$. Cioè $x-y=nZZ$ per un certo $n$.
Ma, per ipotesi, $x$ e $y$ sono sempre minori di $n$ e maggiori di $0$, e dunque una loro differenza non potrà mai dare un multiplo relativo di $n$, se non $0$. Cioè $x-y=0$, da cui $x=y$
Spero di essermi espresso in modo chiaro
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