Dimostrazione che \(x= \sin x \)

[Studente Anonimo]

Proposizione: per ogni \( x \in \mathbb{R} \) abbiamo \(x= \sin x \)
Dimostrazione:
Sia \( f \) una funzione continua tale che \( f(0) =0 \) e che per ogni \( x,y \in \mathbb{R} \) risulta che
\[ f(x) - f(y) = (x-y) \cos(x+y) \]
Consideriamo \( y=0 \) otteniamo che \( f(x) = x \cos x \). Ora però supponendo \( x \neq y \) dividiamo per \( x-y \) e facciamo tendere \( y \to x \) e otteniamo
\[ f'(x)=\lim_{y \to x} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}= \lim_{y \to x } \cos(x+y)= \cos 2x \]
integrando otteniamo che
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin 2x=\sin x \cos x \]
quindi per ogni \( x \in \mathbb{R} \) abbiamo che
\[ x= \sin x \]


Dove sta l'errore?

[kilogrammo1]

la funzione $f(x.y)$ non esiste.

[Studente Anonimo]

Metti in spoiler pf. Solo una piccola precisazione, la funzione è \(f(x) \) ovvero a una variabile e non \( f(x,y) \) ovvero a due. Perché comunque?

[Gi81]

"3m0o":...Sia \( f \) una funzione continua tale che \( f(0) =0 \) e che per ogni \( x,y \in \mathbb{R} \) risulta che \[ f(x) - f(y) = (x-y) \cos(x+y) \]...

Tale funzione non esiste.

Infatti, se per assurdo esistesse, con $y=0$ si avrebbe che $f(x)= x * cos(x)$ per ogni $x in RR$.
Sostituendo, si ottiene $x * cos(x) - y * cos(y) = (x-y) * cos(x+y)$ per ogni $x, y in RR$.

Con ${(x= pi/2),(y= - pi/2):}$ si ha $pi/2* 0 +pi/2* 0 = pi * cos(0)$, ovvero $0=1$, assurdo.

[Studente Anonimo]

A dire il vero troveresti \( 0 = \pi \), però si. In realtà non serve esplicitarla, non può esistere perché si avrebbe che \( f(\pi)=f(-\pi/2) \) e \( f(\pi)=f(\pi/2) \) ma anche \( f(\pi/2)- f(-\pi/2)= \pi \).

[Gi81]

Sì, hai ragione, era $0= pi$.
Non ho capito come deduci che "si avrebbe \( f(\pi)=f(-\pi/2) \) e \( f(\pi)=f(\pi/2) \) ma anche \( f(\pi/2)- f(-\pi/2)= \pi \)" senza esplicitarla. C'è un trucchetto che mi sfugge?

[Studente Anonimo]

Sostituisci \( (x,y)=(\pi,-\pi/2) \) in \( f(x)-f(y)=(x-y)\cos(x+y) \) e usi il fatto che \( \cos \pi/2=0 \). In modo analogo sostituisci \( (x,y)=(\pi, \pi/2 ) \) con \( \cos 3 \pi/2 =0 \) e per ultima cosa \( (x,y)=(\pi/2,-\pi/2) \) e sfrutti il fatto che \( \cos 0 = 1 \)

[Studente Anonimo]

@3m0o: solo a me sembra che tu col tuo argomento abbia dimostrato per assurdo che $f$ non esiste (perché ovviamente $x ne sin(x)$ in generale) e adesso stia chiedendoci perché non esiste?

[j18eos]

Io leggo anche un altro errore:

\(\displaystyle\forall x\in\mathbb{R},\,x\cos x=\sin x\cos x\Rightarrow x=\sin x\), in quanto non lo si può inferire sull'insieme \(\displaystyle\left\{k\frac{\pi}{2}\in\mathbb{R}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}\).

[Studente Anonimo]

"Martino":

@3m0o: solo a me sembra che tu col tuo argomento abbia dimostrato per assurdo che $f$ non esiste (perché ovviamente $x ne sin(x)$ in generale) e adesso stia chiedendoci perché non esiste?

A dirti la verità è sembrato anche a me... questa cosa l'ho letta, non l'ho fatta io, però si. È una dimostrazione per assurdo che non esiste una tale funzione e il motivo è quello che gi8 ed io abbiamo scritto sostanzialmente.

"j18eos":Io leggo anche un altro errore:

\( \displaystyle\forall x\in\mathbb{R},\,x\cos x=\sin x\cos x\Rightarrow x=\sin x \), in quanto non lo si può inferire sull'insieme \( \displaystyle\left\{k\frac{\pi}{2}\in\mathbb{R}\mid k\in\mathbb{Z}\right\} \).

Non ci avevo fatto caso, ma hai ragione!

[Mephlip]

Che poi, anche se esistesse una tale funzione, nelle ipotesi date essa è solamente continua, quindi potrebbe non essere derivabile e quindi il limite del rapporto incrementale potrebbe non esistere o non essere finito.
Inoltre, anche se esistesse tale funzione e fosse derivabile, nessuna ipotesi assicura che la sua derivata sia integrabile e quindi anche il passaggio in cui si integra la derivata è illecito. Che ne pensate?

[Studente Anonimo]

No questo non è un errore. A priori potrebbe essere solo continua e non derivabile certo, però dalla relazione che soddisfa si dimostra che se tale funzione esiste allora il limite del rapporto incrementale è proprio \( \cos 2x \) quindi è pure derivabile con derivata uguale a \( \cos 2x \) che è integrabile.