Mettere in ordine

[axpgn]

Dati gli interi positivi $a, b, c, d$ tali che sia $a/b E provarlo


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Innazitutto...

${ac}/{bd} < a/b < {a+c}/{b+d} < c/d < 1$

to be continued...

[@melia]

Questo è facile, serve solo un po' di algebra spicciola.

Sono interi positivi, quindi $a/b $d/c In origine erano frazioni minori di 1, quindi i loro reciproci sono $>1$, quindi
$1 $1

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[axpgn]

"@melia":Questo è facile, ...

Ma non era per te
Però sull'unico "difficile" hai svicolato alla grande


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":[quote="@melia"]Questo è facile, ...

Ma non era per te
Però sull'unico "difficile" hai svicolato alla grande


Cordialmente, Alex[/quote]

Il margine della pagina del forum e' troppo piccolo. (rif. Pierre de Fermat)

(ovviemente si scherza)

$\frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}$ ?

$\frac{a(1+\frac{c}{a})}{b(1+\frac{d}{b})} < \frac{a}{b}$,

$\frac{1+\frac{c}{a}}{1+\frac{d}{b}} < 1$,

$1+\frac{c}{a} < 1+\frac{d}{b}$,

$\frac{c}{a} < \frac{d}{b}$,

$\frac{c}{d} < \frac{a}{b}$. Che e' falso.

Quindi $\frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b}$.

Se si ripete la dimostrazione scritta sopra, ma scambiando la lettera $a$ con la $c$, e la $b$ con la $d$ si arriva a:

$\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$. Che e' vero.

Quindi $a/b < \frac{c+a}{d+b} < \frac{c}{d}$

[axpgn]

Molto bene, così si fa!

Un altra via ...

Dato che $d/c\ d(a+c)\ d/c<(b+d)/(a+c)$.
Analogamente $ab+bc>ab+ad\ ->\ b(a+c)>a(b+d)\ ->\ b/a>(b+d)/(a+c)$

Cordialmente, Alex

[@melia]

Io lo avevo fatto al contrario, cioè supponendo che $(b+d)/(a+c)>d/c$ allora denominatore comune $bc+dc>ad+dc$ quindi $bc>ad$ da cui $b/a>d/c$ come già dimostrato, idem per la dimostrazione di $(b+d)/(a+c)

Ecco, brontolone!

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[axpgn]

[Folpo13]

$(a/b)^(-1)>(c/d)^(-1)$ per proprietà degli esponenziali con base compresa tra $0$ e $1$

Inoltre essendo entrambi reciproci di numeri $<1$ saranno entrambi $>1$:

$b/a>d/c>1$

Essendo entrambi i numeri maggiori di $1$ il loro prodotto è maggiore di entrambi i fattori quindi:

$(bd)/(ac)>b/a>d/c>1$

Ora consideriamo:

$b/a>d/c=>bc>ad$

Sommo ad entrambi i membri $cd$:

$bc+cd>ad+cd$

Raccolgo a sinistra $c$ e destra $d$:

$c(b+d)>d(a+c)$

$(b+d)/(a+c)>d/c$

Allo stesso modo:

$b/a>d/c=>bc>ad$

Sommo ad entrambi i membri $ab$:

$bc+ab>ad+ab$

Raccolgo a sinistra $b$ e destra $a$:

$b(c+a)>a(d+b)$

$b/a>(b+d)/(a+c)$

Concludendo quindi che:

$(bd)/(ac)>b/a>(b+d)/(a+c)>d/c>1$

[axpgn]