Esistenza funzione

[axpgn]

Esiste una funzione $f$, derivabile su ogni $x$ reale, tale che sia $|f(x)|<2$ e sia anche $f(x)f'(x)>=sin(x)$?


Cordialmente, Alex

[hydro1]

Supponi che esista. Allora per ogni $t\geq 0$ si ha $\int_0^tf(x)f'(x)dx\geq \int_0^t\sin x dx$ da cui $f(t)^2-f(0)^2\ge -2\cos t+2$. Segue che $f(\pi)^2-f(0)^2\geq 4$, il che è chiaramente impossibile dal momento che $|f(x)^2|<4$ (suppongo per ogni $x$, anche se non è specificato nelle ipotesi).

[Quinzio]

La butto li:

$y = f(x)$

Scelgo la minore $yy'$:

$y y' = \sin x $

Integro

$1/2 y^2 = C -\cos x$

$y = sqrt (C - 2\cos x)$

$x = 0, y = 0$ quindi $C = 2$

$y = sqrt (2 - 2\cos x)$

Per $x=0, y=0$ e per $x = \pi, y = 2$.

Quindi non e' esiste questa funzione, perche' anche prendendo la $yy'$ piu' piccola possibile, la funzione cresce fino a 2.
E inoltre c'e' un punto non derivabile in $x = k \pi$

[axpgn]

Ok,