Una costante variabile.

[Studente Anonimo]

Tre amici alle prese con il calcolo di derivate ed integrali hanno la seguente discussione.

Anna: Guardate un po' che strano... \( \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} \) ma anche \( \frac{d}{dx} \arctan\left( \frac{x+1}{1-x} \right) = \frac{1}{1+x^2} \), mi sembra strano perché sono due funzioni diverse...
Beppe: Ricordi cosa ha detto il prof?! Se \(F\) e \(G\) sono due primitive di una funzione \(f\), allora \( F(x) = G(x) + C \), dove \(C\) è una costante.
Anna: Ahh..vero vero quindi
\[ \arctan\left( \frac{x+1}{1-x} \right)= \arctan(x)+ C \]
ma come trovo questa costante?
Celeste: Beh... basta notare che preso \(x=0 \) abbiamo che \( \arctan(0)=0 \) e \( \arctan\left( \frac{0+1}{1-0} \right)= \arctan(1)= \pi/4 \) quindi la costante dev'essere per forza \( C= \pi/4\).
Beppe: Si, oppure puoi prendere il limite. Infatti se prendiamo il limite per \(x \to \infty \) abbiamo
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \pi/2 \]
e
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan\left( \frac{x+1}{1-x} \right) = -\pi/4 \]
quindi \( C= -3\pi/4\).

Celeste: Wait a minute! Non era mica una costante \(C\)?

Riuscite ad aiutare i tre amici a venirne a capo?

[axpgn]

Va bene?


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Va bene ma non è chiarissimo; aggiungo quindi una risposta di calcoli.

Posto $alpha=arctan x$, ne deduco $x=tan alpha$ e $-pi/2 Ricordando che $tan frac pi 4=1$, calcolo
$(x+1)/(1-x)=(tan alpha+tan frac pi 4)/(1-tan frac pi 4 tan alpha)=tan(alpha+pi/4)$
L'arcotangente di questo risultato coincide con l'argomento indicato se quest'ultimo soddisfa alle limitazioni sull'arcotangente, cioè se
$-pi/2 -pi/4-pi/2 Stante la limitazione su $alpha$, la prima diseguaglianza è certo verificata, mentre la seconda richiede che sia $alphax<1$; altrimenti l'argomento va riportato al giusto intervallo sottraendovi $pi$. Quindi
$arctan frac (x+1) (1-x)={(alpha+pi/4 if x<1),(alpha+pi/4-pi" " else):}$
Essendo $alpha=arctan x$, ho perciò
$C=arctan frac (x+1) (1-x)-arctan x={(pi/4 if x<1),(-(3pi)/4" " else):}$

[Studente Anonimo]

Va bene entrambi, ma la povera Celeste ancora non sa spiegarsi l'ultima cosa.

"3m0o":
Beppe: Ricordi cosa ha detto il prof?! Se \(F\) e \(G\) sono due primitive di una funzione \(f\), allora \( F(x) = G(x) + C \), dove \(C\) è una costante.
[...]
Celeste: Wait a minute! Non era mica una costante \(C\)?

[axpgn]

Non sono primitive della stessa funzione.

[gugo82]

"3m0o":
Beppe: Ricordi cosa ha detto il prof?! Se \(F\) e \(G\) sono due primitive di una funzione \(f\), allora \( F(x) = G(x) + C \), dove \(C\) è una costante.
[...]
Celeste: Wait a minute! Non era mica una costante \(C\)?

Questo succede quando non si ricordano/comprendono le ipotesi dei teoremi che si usano, pretendendo di applicarli lì dove non si può.

[Mephlip]

Che poi non è collegato al fatto che due funzioni con eguale derivata differiscono per una costante su insiemi connessi (ossia gli intervalli in $\mathbb{R}$) e ciò si dimostra usando il teorema di Lagrange, che richiede di essere in un intervallo? Quindi, in $\mathbb{R}$, le funzioni $\arctan x$ e $\arctan \frac{x+1}{1-x}$ differiscono per una costante sugli intervalli e, dato che $\arctan \frac{x+1}{1-x}$ non è definita su un intervallo (ma su un'unione di intervalli, che in generale non è un intervallo), per la funzione $\arctan x - \arctan \frac{x+1}{1-x}$ il teorema di Lagrange vale separatamente in $(-\infty,1)$ e in $(1,\infty)$ e quindi le costanti per cui differiscono sono in generale differenti in intervalli differenti?

[Studente Anonimo]

"gugo82":
Questo succede quando non si ricordano/comprendono le ipotesi dei teoremi che si usano, pretendendo di applicarli lì dove non si può.

"Mephlip":Che poi non è collegato al fatto che due funzioni con eguale derivata differiscono per una costante su insiemi connessi (ossia gli intervalli in $ \mathbb{R} $) e ciò si dimostra usando il teorema di Lagrange, che richiede di essere in un intervallo? Quindi, in $ \mathbb{R} $, le funzioni $ \arctan x $ e $ \arctan \frac{x+1}{1-x} $ differiscono per una costante sugli intervalli e, dato che $ \arctan \frac{x+1}{1-x} $ non è definita su un intervallo (ma su un'unione di intervalli, che in generale non è un intervallo), per la funzione $ \arctan x - \arctan \frac{x+1}{1-x} $ il teorema di Lagrange vale separatamente in $ (-\infty,1) $ e in $ (1,\infty) $ e quindi le costanti per cui differiscono sono in generale differenti in intervalli differenti?

Sicuramente è legate al fatto che le derivate differiscono per una costante su insiemi connessi. Non so onestamente se è legato al Teorema di Lagrange.