Pentagoni e percorsi

[axpgn]

Disegniamo due pentagoni concentrici ($ABCDE$ e $abcde$) e colleghiamo fra loro i vertici corrispondenti (quelli più vicini fra loro cioè $aA, bB, cC, dD, eE$)

In questa figura piana ci sono molti percorsi tali che, partendo da un vertice qualsiasi, è possibile ritornarvi dopo aver toccato tutti gli altri vertici una volta sola. (es. $aABCDEedcba$).

Dimostrare che in tutti questi percorsi se c'è il segmento $aA$ non può esserci il segmento $cC$ e viceversa se c'è il segmento $cC$ non può esserci il segmento $aA$.


Cordialmente, Alex

[axpgn]

La nostra figura divide il piano in sette regioni: cinque "quadrilateri" e due "pentagoni" (l'area "esterna infinita" si considera avente cinque lati cioè tutti quelli che la "delimitano").
Ogni percorso con le caratteristiche di quello citato, divide il piano in uno spazio interno ed uno esterno al percorso (per i nostri fini sono itercambiabili, non è importante che l'interno sia effettivamente "interno").
Chiamiamo $f_i$ il numero di regioni interne di $i$ lati e $f_i^{\prime}$ le regioni esterne di $i$ lati; allora nel caso come il nostro di una figura piana con lati che non si intersecano vale la seguente relazione:
$sum_(i=2)^n (i-2)(f_1-f_i^{\prime})=0$, che nel caso specifico che stiamo trattando diventa $2(f_4-f_4^{\prime})+3(f_5-f_5^{\prime})=0$.

Ne consegue che in ogni percorso l'espressione $f_4-f_4^{\prime}$ deve essere divisibile per tre per cui, essendoci cinque quadrilateri l'unica suddivisone possibile è $4+1$ o viceversa.
Ma possiano osservare che se il nostro percorso contiene il lato $aA$, pone i due quadrilateri a cui appartiene uno all'interno e uno all'esterno; se ci fosse anche il segmento $cC$ avremmo che la suddivisione sarebbe $3+2$ o viceversa.
Quindi un percorso che contenga sia $aA$ che $cC$ non può sussistere.

Cordialmente, Alex