Un'altra equazione

[axpgn]

Per evitare fraintendimenti stavolta posto la versione originale in inglese ...

Show that the equation $a^2+b^2=c^5+c$ has infinitely many relatively prime integer solutions.



Cordialmente, Alex

[hydro1]

Let $p$ be a prime $\equiv 1 \mod 4$ and write $p=m^2+n^2$ with $m,n\geq 1$ and coprime. Then $p^5+p=p(p^4+1)=(m^2+n^2)((m^2+n^2)^4+1)=(m-n(m^2+n^2)^2)^2+(m(m^2+n^2)^2+n)^2.$


Another way of seeing it: if $p$ is prime and an odd prime $q$ divides $p^4+1$, then necessarily $4$ divides $q-1$. This shows that $p^4+1$ is representable as a sum of squares. But if two numbers are representable as a sum of squares, their product is.

[axpgn]

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Non facile, almeno per me.
Credo che bisogna conoscere bene i trucchi dell'algebra.
Qualcuno puo' indicare in che direzione bisogna guardare, senza dare dei suggerimenti ?
Mi vengono in mente le terne pitagoriche e i vari metodi per generarle, ma piu' di questo niente.

[axpgn]

Piccolo hint:

Io ho sfruttato un'identità (diversa da quella usata da hydro) preceduta però da una considerazione su certi numeri (la stessa di hydro)

Cordialmente, Alex