Tre viaggiatori

[axpgn]

Bruno, Pietro e Paolo sono escursionisti esperti e sono in grado di camminare a $p$ km/h per lungo tempo.
Purtroppo Bruno si è ferito (leggermente) ad un piede e non potendo stare al passo degli amici, ha noleggiato una macchinina che gli permette di viaggiare a $c$ km/h.
L'automobilina è proprio piccola e può trasportare due persone al massimo, guidatore compreso, perciò i tre amici hanno deciso di adottare la seguente strategia.
Partono insieme, Paolo camminando e Pietro a bordo dell'auto con Bruno.
Dopo un certo tempo, Pietro scende e prosegue a piedi mentre Bruno torna a prendere Paolo e quando raggiungono Pietro, ricominciano con la stessa procedura ovvero Paolo scende e cammina, Bruno e Pietro proseguono in macchina, poi Pietro scende e cammina, Bruno torna a prendere Paolo e raggiungono Pietro e così via.

a) Quanti km/h percorre il trio con questo metodo?
b) Quale è la frazione del tempo di viaggio quella in cui la macchina trasporta una sola persona?
c) Cosa succede per $p=0$ e $p=c$?


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Do i miei risultati ma non indico il ragionamento perché è stra-banale e probabilmente si può fare di meglio. La formula trovata dovrebbe essere giusta perché dà risultati sensati nei due casi particolari del punto c).

a) il trio viaggia alla velocità $v=(c(c+3p))/(3c+p)$
b) La frazione di tempo è $(c-p)/(3c+p)$
c) Per $p=0$ si ha $v=c/3$, ed infatti Bruno deve fare tre volte la strada.
Per $p=c$ si ha $v=c$: prevedibile, dato che i tre amici viaggiano sempre assieme.

[axpgn]

Non sono d'accordo sul fatto che sia "banalissimo" come dici tu ma bravo

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Grazie del complimento. Forse il tuo ragionamento è più furbo, ma continuo a ritenere banale il mio; lo scrivo per permetterti di giudicare.

Step 1): in un tempo $t_1$, Bruno trasporta Pietro da O ad A. Si ha $OA=ct_1$
Step 2): in. un successivo tempo $t_2$, Bruno torna fino ad incontrare Paolo in B. Si ha $OB=p(t_1+t_2); AB=ct_2; OB+AB=OA$ e da questo ricavo $t_2=(c-p)/(c+p)t_1$
Step 3): in un ulteriore tempo $t_3$, Bruno trasporta Paolo fino a raggiungere Pietro in C. Si ha $AC=p(t_2+t_3);BC=ct_3;AB+AC=BC$ e ne ricavo $t_3=(c+p)/(c-p)t_2$ e quindi $t_3=t_1$. La facilità di questo risultato fa pensare che forse lo si può ottenere in modo più rapido.
Conclusione: in C il trio è nuovamente riunito; in tutto ha percorso il tratto OC nel tempo $t_1+t_2+t_3$. Ora basta fare i calcoli.

[axpgn]

Quando scrivo che non è "banalissimo" intendo dire che è il tipico problema che se non lo "inquadri" bene, ti porta in un circuito contorto di equazioni che ti si ritorcono contro
Se invece lo vedi nella giusta prospettiva allora diventa banale

Il punto cruciale consiste nel notare che tutti hanno percorso la stessa distanza (chiaramente quando sono tutti riuniti ma d'altra parte è l'unico momento in cui si può parlare di velocità del gruppo).
Da ciò deriva che le "tre" distanze possono essere rappresentate così $ct_1-ct_2+ct_3=pt_1+pt_2+ct_3=ct_1+pt_2+pt_3$

Cordialmente, Alex