Rettangolo nel piano.

[Studente Anonimo]

Coloriamo in modo arbitrario tutti i punti del piano euclideo \( \mathbb{R}^2 \) di rosso o di blu.
Dimostra che esiste un rettangolo i cui vertici sono monocromatici.

[axpgn]

La butto lì ...

Consideriamo una griglia a maglie quadrate $4 xx 4$ (16 punti/vertici)
Supponiamo che otto siano di un colore e otto dell'altro (se lo dimostriamo per questo caso, mi pare evidente che funzioni per nove punti dello stesso colore e per dieci punti ecc.)
Gli otto punti di un certo colore saranno distribuiti secondo una delle partizioni tipo $4400, 4310, ...., 2222$ che sono meno di una decina; non è difficile perciò verificare che per ciascuna di queste esiste sempre almeno un rettangolo monocromatico.

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Trovami un rettangolo con vertici monocromatici qui (sono 8 punti blu e 8 punti rossi in una griglia quadrata 4x4)
R - B - R - B
B - R - R - B
R - B - B - R
B - R - B - R

[axpgn]

Ieri sera c'ero riuscito e proprio con quella combinazione lì

[Studente Anonimo]

Beh non so come hai fatto perché non è possibile.

[Quinzio]

Faccio questo ragionamento, mi sembra corretto.
Invece di blu e rosso, prendo le cifre 0 e 1 e faccio dei numeri binari. Non cambia molto, ma si ragiona meglio, forse.
Immagino di avere su una riga
000
Andando avanti coi numeri binari, il numero successivo che posso scrivere in colonna e'
000
011
Non posso scrivere 001 o 010 perche' si forma un rettangolo.
Andando avanti posso scrivere solo

000
011
101
110

Non posso scrivere 111 e quindi ho esaurito i numeri binari da 0 a 7.
Se uso di nuovo un numero gia' usato formo un rettangolo, quindi non posso proseguire.
Ma non li ho usati tutti. Prendo il primo che non usato:
001
e vado avanti

001
010
100
101
110

Poi non posso continuare perche' si forma un rettangolo.
Rimane da usare il 7 (111) ma e' solo il complemento di 000, quindi non funziona.
Quindi un rettangolo si forma sempre.
Mi sembra che funzioni come ragionamento.

[Studente Anonimo]

Io l' ho fatto così. Disegniamo 3 linee orizzontali in \( \mathbb{R}^2 \). Chiaramente ogni linea verticale interseca ciascuna linea orizzontale in un punto solo. Consideriamo i tre punti di intersezione, ora per il principio dei cassetti abbiamo che almeno due di questi tre punti hanno lo stesso colore. Associamo ad una linea verticale la sua combinazione di colori ordinata. Se due linee verticali hanno la medesima combinazione di colori ordinata abbiamo che si può ovviamente trovare un rettangolo con tutti i vertici monocromatici. Diciamo che se due linee verticali hanno la stessa combinazione di colori sono associate, così se due linee verticali sono associate possiamo trovare un rettangolo con vertici monocromatici.
Ora poiché 3 punti si possono colorare in 8 modo distinti disegnando 9 linee verticali per il principio dei cassetti possiamo trovare almeno due linee associate. In realtà come dici te bastano 7 linee.