Matematicamente

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente limite: $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2))$. E lo stesso anche per $(x,y)->+infty$. Per quanto riguarda il caso $(x,y) \to (0,0)$: Vedendo una forma al numeratore del tipo $sin(xy)$, mi era venuto in mente di utilizzare il procedimento cercando delle maggiorazioni, nello specifico $|sin(xy)|<=|xy|$ arrivando, facendo qualche passaggio a: $..<=(xy)^2/(x^2+y^2)$. Per continuare con le maggiorazioni, mi è venuta in mente quella per cui $x^2<=x^2+y^2 rArr x^2/(x^2+y^2) <=1$ e quindi ...

Salve, oggi, dopo un po', volevo ritornare su una vecchia dimostrazione in cui non riuscii perchè era ancora troppo prematuro. Ora ero curioso di vedere se effettivamente ci fossi riuscito, o se ancora ci sono degli errori. La dimostrazione è che $l^(oo) (RR)$ dotato della metrica $d({x_n}, {y_n})=s up_(n \in NN) |x_n-y_n|$ è uno spazio metrico completo. La dimostrazione l'ho divisa in 2 parti: (1) $(l^(oo) (RR), d)$ è uno spazio metrico. Dobbiamo dimostrare che $d$ è una distanza. Le proprietà di ...

Salve a tutti, ho un dubbio su cosa concludere con questo limite: $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} ((sin(xy)-ysin(x))/(x^2+y^2))$. Per risolverlo, ho riscritto il limite come somma di due limiti e cercando delle maggiorazioni, ottenuto in entrambi i casi: $abs((xy)/(x^2+y^2))<= 1/2$. Dato che ottengo una cosa che non dipende ne da $x$ o da $y$, concludo che esiste? Perchè facendo il limite per $(x,y) to (0,0)$ di $1/2$ ovviamente ottengo $1/2$. Grazie mille per l'aiuto.

Salve a tutti, stavo affrontando questo limite e dopo averlo risolto, controllando su wolfram mi viene un risultato differente e vorrei capire cosa mi sfugge nel ragionamento: $lim_((x,y)->(0,0))((x^4+y^4)/(x^2+y^3))$, definita in ${(x,y) in RR^2: x^2+y^3!=0}$. Facendo un'analisi iniziale, cioè controllando $(x,0)$ e $(0,y)$, il limite se esiste dovrebbe venire $0$. Applicando il metodo delle coordinate polari: $lim_(rho->0)((rho^4cos(theta)^4-rho^4sin(theta)^4)/(rho^2cos(theta)^2-rho^3sin(theta)^3))$ e svolgendo i passaggi otterrei: $lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso ...

online ho trovato un esercizio in cui si chiede di verificare che $ sin2x $ sia soluzione di $ y''''+4y'''+8y''+16y'+16y=0 $ . io avrei svolto l'esercizio facendo una verifica diretta, cioè sostituendo nell'equazione differenziale le derivate di $ sin2x $ . invece nello svolgimento dell'esercizio leggo che, invece di fare una verifica diretta, si può calcolare il polinomio caratteristico $ p(λ)=λ^4+4λ^3+8λ^2+16λ+16 $ e concludere che $ sin2x $ è una soluzione perchè $ 2i $ e ...

Disegna un triangolo ABC e un punto O esterno al triangolo. Unisci O rispettivamente con i vertici A, B e C. Prolunga OA dalla parte di O di un segmento OA′ ≅ OA, prolunga OB, sempre dalla parte di O di un segmento OB′ ≅ OB, e prolunga OC sempre dalla parte di O di un segmento OC′ ≅ OC. Dimostra che il triangolo A′B′C′ è congruente al triangolo ABC.

salve ragazzi, se possibile, vorrei essere un po' guidato nella risoluzione del seguente problema di cauchy $ { ( y''+(y')^3 =0 ),( y(0)=y_0 ),( y'(0)=-v_0 ):} $ ponendo $ x=y' $ lo riscrivo come $ { ( x'+x^3=0 ),( x(0)=-v_0 ):} $ che è un'equazione a variabili separabili. trovo quindi $ -1/(2x^2)=-t+c $ che posso riscrivere come $ 1/(2x^2)=t+c $ ora dovrei trovare la $ c $ dalla condizione iniziale e mi risulta $ c=1/(2(v_0)^2) $ quindi da $ 1/(2x^2)=t+1/(2v_0^2 $ ricavo la x: $ x=±√(1/(2t)+v_0^2) $ scegliendo come soluzione ...

l'equazione differenziale è $ y''-4y'+5y=e^(2x)(1+cosx)+5x^2 $ ho trovato la soluzione generale dell'omogenea: $ y(x)=c_1e^(2x)sinx+c_2e^(2x)cosx $ e sto ora trovando la soluzione particolare col metodo della somiglianza: per $ e^(2x) $ ho trovato $ e^(2x) $ ; per $ e^(2x)cosx $ ho trovato $ 1/2xe^(2x)sinx $ e fin qui è tutto giusto. per $ 5x^2 $ cerco una soluzione nella forma $ y=Ax^2+Bx+c $ le cui derivate sono $ y'=2Ax+B $ e $ y''=2A $ e sostituendole nell'equazione ...

Sia $f: R -> R$ la funzione così definita: $f(x) = 0 \forall x \in Q$ e $f(x) = x \forall x \in R/Q$. Sia $f: (R, T) -> (R, E)$ una mappa dove con T ho indicato una topologia su $R$ e con $E$ ho indicato la topologia euclidea su $R$. Voglio trovare tutti gli aperti della topologia meno fine fra quelle che rendono $f$ continua. Ora, il problema è che non riesco a capire come fare per cercare la meno fine fra quelle che la rendono conitnua... Intanto ...

Buonasera, dovrei trovare forma canonica di Jordan e matrice Jordanizzante di: $ A =( ( 8 , 6 , -4 ),( 0 , 2 , 0 ),( 9 , 9 , -4 ) ) $ Ho trovato la matrice di Jordan come $ J =( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ e quando procedo per trovare la matrice di cambio di base mi perdo. Questi i miei passaggi: 1. Trovo il $ ker (A-\lambdaI)= <((2), (0), (3)),((0), (2), (3))> $ 2. Provo a trovare l'ultimo autovettore generalizzato con: $ ( ( 6 , 6, -4),( 0, 0, 0 ),( 9, 9, -6) )* ((0), (0), (1))=((-4), (0), (-6)) $ ma non mi trovo più. Dove sbaglio? Grazie

Non mi pare di aver mai visto un teorema riguardo ciò, quindi mi chiedo: se una funzione è derivabile è continua, ma la derivata stessa? E' sicuramente continua anch'essa? Ho provato a pensare a controesempi ma non mi viene in mente nessun punto in cui la funzione sia derivabile, ma la derivata non è continua

ciao a tutti, sfortunatamente non riesco a risolvere questa espressione potete aiutarmi per favore ? i risultati delle seguenti espressioni sono: >10 >25/81

Salve a tutti, stavo provando a fare l'esercizio: $f_n(x)= n*e^(-nx^2)$ e mi sono sorti dei dubbi per quanto riguarda sia la convergenza puntuale che uniforme. Io sò che per vedere se converge puntualmente, devo vedere l'insieme di convergenza di $f_(oo)(x)$ e controllando come viene svolto, vengono analizzati separatamente i casi $x=0$ e $x in RR \\ {0}$. Perchè viene fatta questa distinzione? Perchè la $x$ per la puntuale viene fissata, e non mi sembra dia ...

Salve, ho provato a svolgere questi due esercizi, ho provato a svolgere entrambi, solo con l’esercizio numero 12 sono riuscita a calcolare il modulo del vettore $\vec c$ ma non mi vengono gli angoli indicati nella rispettiva soluzione. Mentre l’esercizio numero 18 non riesco a capirlo come risolverlo. Se per favore potreste darmi una mano? Esercizio 18. Considera i tre vettori $\vec a$ , $\vec b$ e $\vec c$ in rappresentanzione cartesiana. Sapendo che le ...

devo studiare massimi e minimi di $ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+x+y+z $ su $ E={x^2+y^2<=4,|x-y|<=2<=z<=3} $ . cerco dapprima i punti critici interni ad E vedendo quando si annulla il gradiente: $ (2x+1,2y+1,2z+1)=(0,0,0)<=>(x,y,z)=(-1/2,-1/2,-1/2) $ che tuttavia è un punto che non appartiene ad E perchè trovo un assurdo se sostituisco $ (-1/2,-1/2,-1/2) $ a $ 2<=z $ trovando $ 2<=-1/2 $ è corretto?

l'esercizio mi chiede di trovare massimi e minimi di $ f(x,y)=x^2+y^2 $ su $ M={(x,y)∈RR^2:|x|+|y|<=1} $ . dallo studio del gradiente della funzione ho trovato (0,0) come punto critico che concludo essere un punto di minimo assoluto essendo la funzione $ >=0 $ . passo allo studio della frontiera: noto la simmetria di f e di M quindi studio solo l'insieme $ E={(x,y)∈RR^2:x+y=1,0<x<1} $ quindi la funzione $ g=f(x,1-x) $ che ha punto stazionario $ 1/2 $ che è un candidato insieme agli spigoli ...

Salve, potreste spiegarmi il passaggio in cui nel metodo Tredgold per il dimensionamento del volano si pone che $1/2 d/(d(theta))(J(theta))omega^2=-C_i(theta)$. Non capisco per quale motivo si può considerare quel termine uguale a una coppia di inerzia. Grazie

Salve, continuando a vedere alcune cose di Geometria 2, stavo vedendo un altro esercizio del Manetti, ovvero il 5.25. La traccia è "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compattamente generato e $Y$ uno quoziente topologico di $X$ di Hausdorff, allora $Y$ è compattemente generato" (per compattamente generato intendo che $C \subset X$ è chiuso se e solo se $C nn K$ è chiuso in $K$ per ogni $K$ compatto in ...

$ f(x,y) $ vale $ (x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx $ quando $ (x,y)≠(0,0) $ e $ 0 $ quando $ (x,y)=(0,0) $ . inizio studiando la continuità in $ (0,0) $ : il primo controllo che ho fatto è stato $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,mx)=lim_((x,y) -> (0,0))(x^2-(mx)^2)/(|x|+|mx|)arctanx= $ e poichè $ x^2>=0=>x^2=|x^2|=|x|^2 $ allora $ lim_((x,y) -> (0,0))(|x|^2(1-m^2))/(|x|(1+|m|))arctanx=0 $ quindi procedo con una stima dall'alto sfruttando che $ x^2-y^2=(|x|+|y|)(|x|-|y|) $ allora $ |f(x,y)|=|(x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx|=(|x|-|y|)arctanx <= (|x|-|y|)pi/2 ->0 $ quando $ (x,y)->0 $ concludo quindi che f è continua in (0,0). è anche continua in R^2\(0,0) perchè rapporto ...

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e mi sono venuti un pò di dubbi: $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) $. L'esercizio dà come "dato" che $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n) = S$ e chiede di determinare a quanto converge la serie di partenza. E' giusto dire che la serie di partenza converge a 0? Perchè io posso separare la serie come $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) = \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_n - \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_(n+1) $ e dire che quella di $a_n$ converge ad S ma anche quella di $a_(n+1)$ mi è venuto in mente. Grazie mille in anticipo per l'aiuto.