Successione di funzioni
Salve a tutti, stavo provando a fare l'esercizio:
$f_n(x)= n*e^(-nx^2)$
e mi sono sorti dei dubbi per quanto riguarda sia la convergenza puntuale che uniforme.
Io sò che per vedere se converge puntualmente, devo vedere l'insieme di convergenza di $f_(oo)(x)$ e controllando come viene svolto, vengono analizzati separatamente i casi $x=0$ e $x in RR \\ {0}$. Perchè viene fatta questa distinzione? Perchè la $x$ per la puntuale viene fissata, e non mi sembra dia problemi di definizione della successione.
Per quanto riguarda l'uniforme ho due domande, una molto banale e una, a parer mio, di meno.
La prima è: quando devo fare il sup della funzione, vado ad analizzare la derivata prima, vedere quando è maggiore di 0 e sostituire il valore per cui lo è in $f_n(x)$ corretto?
La seconda è: Sempre nell'esercizio ad inizio post, viene detto che in $RR\\{0}$ non c'è convergenza uniforme, ma c'è in $(-oo,-a] uu [a,+oo)$. Come faccio a capire che posso cercare questi insiemi in cui invece è uniformemente convergente? Perchè io ho pensato che: escluso l'intorno di $0$, la successione va verso $0$ e quindi ci deve essere l'insieme di convergenza uniforme, corretto? Però ecco, questo ragionamento implica che abbia capito la parte del puntiforme in $0$, cosa che non mi è molto chiara invece.
Grazie mille per l'aiuto.
$f_n(x)= n*e^(-nx^2)$
e mi sono sorti dei dubbi per quanto riguarda sia la convergenza puntuale che uniforme.
Io sò che per vedere se converge puntualmente, devo vedere l'insieme di convergenza di $f_(oo)(x)$ e controllando come viene svolto, vengono analizzati separatamente i casi $x=0$ e $x in RR \\ {0}$. Perchè viene fatta questa distinzione? Perchè la $x$ per la puntuale viene fissata, e non mi sembra dia problemi di definizione della successione.
Per quanto riguarda l'uniforme ho due domande, una molto banale e una, a parer mio, di meno.
La prima è: quando devo fare il sup della funzione, vado ad analizzare la derivata prima, vedere quando è maggiore di 0 e sostituire il valore per cui lo è in $f_n(x)$ corretto?
La seconda è: Sempre nell'esercizio ad inizio post, viene detto che in $RR\\{0}$ non c'è convergenza uniforme, ma c'è in $(-oo,-a] uu [a,+oo)$. Come faccio a capire che posso cercare questi insiemi in cui invece è uniformemente convergente? Perchè io ho pensato che: escluso l'intorno di $0$, la successione va verso $0$ e quindi ci deve essere l'insieme di convergenza uniforme, corretto? Però ecco, questo ragionamento implica che abbia capito la parte del puntiforme in $0$, cosa che non mi è molto chiara invece.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
"Gianluk3":
controllando come viene svolto, vengono analizzati separatamente i casi $x=0$ e $x in RR \\ {0}$. Perchè viene fatta questa distinzione? Perchè la $x$ per la puntuale viene fissata, e non mi sembra dia problemi di definizione della successione.
Non è un problema di definizione di successione, è che per $x=0$ l'esponenziale vale $e^0=1$ e quindi rimane $f_n(0)=n$; ne segue che $f_n(0) \to \infty$ per $n \to \infty$ e quindi la successione non converge per $x=0$.
"Gianluk3":
quando devo fare il sup della funzione, vado ad analizzare la derivata prima, vedere quando è maggiore di 0 e sostituire il valore per cui lo è in $f_n(x)$ corretto?
Non necessariamente: fai la derivata prima perché se esiste il massimo esso coincide con l'estremo superiore. Poi sì, se trovi un punto di massimo a quel punto valuti la successione nel punto di massimo e hai trovato l'estremo superiore.
"Gianluk3":
Perchè io ho pensato che: escluso l'intorno di $0$, la successione va verso $0$ e quindi ci deve essere l'insieme di convergenza uniforme, corretto? Però ecco, questo ragionamento implica che abbia capito la parte del puntiforme in $0$, cosa che non mi è molto chiara invece.
Grazie mille per l'aiuto.
Certo, ma va verso $0$ anche per $x \ne 0$ (l'hai visto prima col limite nel caso in cui $x \ne 0$!) senza necessità di introdurre $a>0$; quindi ci deve essere qualche differenza nel considerare gli insiemi del tipo $(-\infty,-a] \cup [a, \infty)$, e questa differenza sta nella definizione di convergenza uniforme e in come si sfrutta $a$. Prova a pensarci un po'.
"Mephlip":
Certo, ma va verso $0$ anche per $x \ne 0$ (l'hai visto prima col limite nel caso in cui $x \ne 0$!) senza necessità di introdurre $a>0$; quindi ci deve essere qualche differenza nel considerare gli insiemi del tipo $(-\infty,-a] \cup [a, \infty)$, e questa differenza sta nella definizione di convergenza uniforme e in come si sfrutta $a$. Prova a pensarci un po'.
Mi viene da pensare che: spostandomi leggermente dall'origine la successione andrebbe a 0 anche uniformemente dato che $"sup " |f_n-f| ->0$. Dato che la funzione limite va a $0$ per $x!=0$. Questo intendevi?
Sì, ma non riesco a capire se mi stai enunciando la formula che ti hanno dimostrato a lezione (o hai letto) o se ti è veramente chiara la differenza tra convergenza puntuale e uniforme. Procediamo così allora: ti chiedo innanzitutto chi è
$$\sup_{x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)} |f_n(x)-f_{\infty}(x)|$$
Comunque non è la funzione limite che va a $0$, è la successione di funzioni $f_n$ che tende a una funzione limite. La funzione limite è $0$ per $x \ne 0$, perché è appunto un limite.
$$\sup_{x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)} |f_n(x)-f_{\infty}(x)|$$
Comunque non è la funzione limite che va a $0$, è la successione di funzioni $f_n$ che tende a una funzione limite. La funzione limite è $0$ per $x \ne 0$, perché è appunto un limite.
"Mephlip":
Sì, ma non riesco a capire se mi stai enunciando la formula che ti hanno dimostrato a lezione (o hai letto) o se ti è veramente chiara la differenza tra convergenza puntuale e uniforme. Procediamo così allora: ti chiedo innanzitutto chi è
$$\sup_{x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)} |f_n(x)-f_{\infty}(x)|$$
Il sup di cui parli è la distanza di $f_n(x)$ da $f_(oo)(x)$.
"Mephlip":
Comunque non è la funzione limite che va a $0$, è la successione di funzioni $f_n$ che tende a una funzione limite. La funzione limite è $0$ per $x \ne 0$, perché è appunto un limite.
Si scusami, io intendo che $f_n(x)$ tende a $0$. Non che $f_(oo)(x) -> 0$.
"Gianluk3":
Si scusami, io intendo che $f_n(x)$ tende a $0$. Non che $f_(oo)(x) -> 0$.
Tranquillo, non devi scusarti. Così è detto bene.
"Gianluk3":
Il sup di cui parli è la distanza di $f_n(x)$ da $f_(oo)(x)$.
No, non è la distanza: è l'estremo superiore delle distanze tra $f_n$ ed $f_\infty$ al variare di $x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)$ (perché la distanza in $\mathbb{R}$ è già il modulo all'interno dell'estremo superiore).
Comunque mi sono espresso male: intendevo chiederti di calcolarlo proprio e riportare qui il risultato del calcolo.
Scusami se sembro estremamente pignolo, ma preferisco aiutarti a usare un linguaggio appropriato qui in modo che non ti ritrovi davanti al docente ad avere queste uscite.
"Mephlip":
No, non è la distanza: è l'estremo superiore delle distanze tra $f_n$ ed $f_\infty$ al variare di $x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)$ (perché la distanza in $\mathbb{R}$ è già il modulo all'interno dell'estremo superiore).
Comunque mi sono espresso male: intendevo chiederti di calcolarlo proprio e riportare qui il risultato del calcolo.
Io farei cosi:
$"sup " |f_n(x)-f_(oo)(x)| = "sup " n*e^(-nx^2)$. E, se $a>0$, mettendolo al posto di $x^2$, tornerebbe l'uniforme continuità. Corretto?
Scusami se sembro estremamente pignolo, ma preferisco aiutarti a usare un linguaggio appropriato qui in modo che non ti ritrovi davanti al docente ad avere queste uscite.[/quote]
No ma infatti grazie mille, perchè è di aiuto!
Prego! Non è specificato che $a>0$? Comunque non è un problema, assumiamo $a>0$ (come tipicamente è, in casi come questo, visto che poi mette un $-a$ nell'intervallo con $-\infty$).
Perché lo metteresti al posto di $x^2$? Stai aggirando la mia domanda, lo sai calcolare quell'estremo superiore? Se sì provaci e scrivilo, altrimenti dimmelo che lo vediamo insieme.
"Gianluk3":
mettendolo al posto di $ x^2 $, tornerebbe l'uniforme continuità. Corretto?
Perché lo metteresti al posto di $x^2$? Stai aggirando la mia domanda, lo sai calcolare quell'estremo superiore? Se sì provaci e scrivilo, altrimenti dimmelo che lo vediamo insieme.
"Mephlip":
Prego! Non è specificato che $a>0$? Comunque non è un problema, assumiamo $a>0$ (come tipicamente è, in casi come questo, visto che poi mette un $-a$ nell'intervallo con $-\infty$).
[quote="Gianluk3"]mettendolo al posto di $ x^2 $, tornerebbe l'uniforme continuità. Corretto?
Perché lo metteresti al posto di $x^2$? Stai aggirando la mia domanda, lo sai calcolare quell'estremo superiore? Se sì provaci e scrivilo, altrimenti dimmelo che lo vediamo insieme.[/quote]
A me l'hanno sempre fatto calcolare così e poi fare il limite.. A me hanno sempre detto di mettere la $a $ al posto della $x$, non è cosi?
Scusami ma non sto aggirando la tua domanda, è che non so cosa intendi
No che non è sempre così, ma prova anche a farti un esempio semplice per verificare o no le cose che ti vengono dette! Da chi poi? Non ci credo che un docente ti ha detto una cosa del genere, spero sia stato un collega (non preparato) o che ci sia stata un'incomprensione.
Tipo, prendiamo una cosa semplice come $"sup"_{x \in [1,a]} (-nx)$ con $a>1$. Come vedi, dato che $n$ è un numero naturale, $n$ è sempre positivo e anche $x$ lo è perché sta nell'intervallo $[1,a]$ e $a>1$.
Secondo il tuo ragionamento, dobbiamo sostituire $a$ a $x$.
Quindi verrebbe che l'estremo superiore è $-na$. Proviamo a fissare $a$ per vedere se questo ha senso: per $a=5$, hai che l'estremo superiore in $[1,5]$ di $-nx$ è $-5n$, che è il più piccolo tra tutte le possibili quantità in $[1,5]$ della successione di funzioni $-nx$ perché i numeri negativi diventano più piccoli quando hanno un coefficiente più grande davanti.
Quindi ti è venuto che un estremo superiore è il più piccolo valore possibile tra quelli che si potevano ottenere, cosa palesemente sbagliata.
Come detto prima, calcolare la derivata funziona perché essa, se va tutto bene, ti assicura di trovare il massimo e quindi anche l'estremo superiore; andare a occhio così non funziona, a meno che tu non abbia un motivo per farlo (che va argomentato). In generale, qui ma soprattutto in scritti e orali, va giustificata ogni cosa che si afferma. Perciò, se non sai giustificare le tue affermazioni, è sempre meglio dire "non lo so".
Procediamo a calcolare l'estremo superiore di $f_n (x)=n e^{-nx^2}$ in $(-\infty,-a] \cup [a,\infty)$: ti chiedo di calcolare la derivata di $f_n(x)$ rispetto a $x$ e di trovare il massimo di quella successione di funzioni in $(-\infty,-a], \cup [a,\infty)$.
Tipo, prendiamo una cosa semplice come $"sup"_{x \in [1,a]} (-nx)$ con $a>1$. Come vedi, dato che $n$ è un numero naturale, $n$ è sempre positivo e anche $x$ lo è perché sta nell'intervallo $[1,a]$ e $a>1$.
Secondo il tuo ragionamento, dobbiamo sostituire $a$ a $x$.
Quindi verrebbe che l'estremo superiore è $-na$. Proviamo a fissare $a$ per vedere se questo ha senso: per $a=5$, hai che l'estremo superiore in $[1,5]$ di $-nx$ è $-5n$, che è il più piccolo tra tutte le possibili quantità in $[1,5]$ della successione di funzioni $-nx$ perché i numeri negativi diventano più piccoli quando hanno un coefficiente più grande davanti.
Quindi ti è venuto che un estremo superiore è il più piccolo valore possibile tra quelli che si potevano ottenere, cosa palesemente sbagliata.
Come detto prima, calcolare la derivata funziona perché essa, se va tutto bene, ti assicura di trovare il massimo e quindi anche l'estremo superiore; andare a occhio così non funziona, a meno che tu non abbia un motivo per farlo (che va argomentato). In generale, qui ma soprattutto in scritti e orali, va giustificata ogni cosa che si afferma. Perciò, se non sai giustificare le tue affermazioni, è sempre meglio dire "non lo so".
Procediamo a calcolare l'estremo superiore di $f_n (x)=n e^{-nx^2}$ in $(-\infty,-a] \cup [a,\infty)$: ti chiedo di calcolare la derivata di $f_n(x)$ rispetto a $x$ e di trovare il massimo di quella successione di funzioni in $(-\infty,-a], \cup [a,\infty)$.
"Mephlip":
No che non è sempre così, ma prova anche a farti un esempio semplice per verificare o no le cose che ti vengono dette! Da chi poi? Non ci credo che un docente ti ha detto una cosa del genere, spero sia stato un collega (non preparato) o che ci sia stata un'incomprensione.
Mi dispiace dirti che l'ha fatto un professore..
"Mephlip":
Procediamo a calcolare l'estremo superiore di $f_n (x)=ne^{-nx^2}$ in $(-\infty,-a] \cup [a,\infty)$: ti chiedo di calcolare la derivata di $f_n(x)$ rispetto a $x$ e di trovare il massimo di quella funzione.
Facendo i conti mi viene che la derivata è positiva per $x<0$, quindi il massimo è $0$, che sostituito nella $f_n$ dà $n$.
"Gianluk3":
Mi dispiace dirti che l'ha fatto un professore..
Continuo a sperare che sia stato un fraintendimento
altrimenti è tragica."Gianluk3":
Facendo i conti mi viene che la derivata è positiva per $x<0$, quindi il massimo è $0$, che sostituito nella $f_n$ dà $n$.
No. Il conto è sicuramente corretto, ma non ha senso quello che ti è venuto fuori sostituendo. In che insieme varia $x$ nel calcolo dell'estremo superiore?
"Mephlip":
No. Il conto è sicuramente corretto, ma non ha senso quello che ti è venuto fuori sostituendo. In che insieme varia $x$ nel calcolo dell'estremo superiore?
Varia in $(-oo,-a] uu [a,+oo)$. Però non riesco a capire come fare.
"Mephlip":
[quote="Gianluk3"]
Mi dispiace dirti che l'ha fatto un professore..
Continuo a sperare che sia stato un fraintendimento
altrimenti è tragica.[/quote]
Mi spiace ma l'ha messo nero su bianco ahahahah
Appunto, varia in quell'insieme e $a>0$: quindi $0$ non può appartenerci, perché i numeri in $(-\infty,-a]$ sono tutti strettamente negativi e i numeri in $[a,\infty)$ sono tutti strettamente positivi.
Perciò non puoi valutare $f_n$ in $0$ in quell'insieme, perché $0$ non ci appartiene.
Hai calcolato la derivata di $f_n$: per quale valore è assunto il massimo di $f_n$ ora che sai che $0$ non può essere considerato? Sono argomenti di analisi 1, se hai lacune di quell'esame ti perseguiteranno per sempre.
Perciò non puoi valutare $f_n$ in $0$ in quell'insieme, perché $0$ non ci appartiene.
Hai calcolato la derivata di $f_n$: per quale valore è assunto il massimo di $f_n$ ora che sai che $0$ non può essere considerato? Sono argomenti di analisi 1, se hai lacune di quell'esame ti perseguiteranno per sempre.
"Mephlip":
Appunto, varia in quell'insieme e $a>0$: quindi $0$ non può appartenerci, perché i numeri in $(-\infty,-a]$ sono tutti strettamente negativi e i numeri in $[a,\infty)$ sono tutti strettamente positivi.
Hai calcolato la derivata di $f_n$: per quale valore è assunto il massimo di $f_n$ ora che sai che $0$ non può essere considerato? Sono argomenti di analisi 1, se hai lacune di quell'esame ti perseguiteranno per sempre.
Il massimo allora dovrebbe essere: $n*e^(-n*a^2)$. Corretto?
Esatto! Ora per concludere, ti rimane solo da calcolare
$$\lim_{n \to \infty} n e^{-na^2}$$
$$\lim_{n \to \infty} n e^{-na^2}$$
"Gianluk3":
[quote="Mephlip"][quote="Gianluk3"]
Mi dispiace dirti che l'ha fatto un professore..
Continuo a sperare che sia stato un fraintendimento
altrimenti è tragica.[/quote]
Mi spiace ma l'ha messo nero su bianco ahahahah[/quote]
Vediamo.
"Mephlip":
Esatto! Ora per concludere, ti rimane solo da calcolare
$$\lim_{n \to \infty} n e^{-na^2}$$
Perfetto ora torna tutto! Grazie mille per l'aiuto e sopratutto per la pazienza ahahah.
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