Esercizio topologia meno fine fra quelle che rendono continua una mappa
Sia $f: R -> R$ la funzione così definita: $f(x) = 0 \forall x \in Q$ e $f(x) = x \forall x \in R/Q$.
Sia $f: (R, T) -> (R, E)$ una mappa dove con T ho indicato una topologia su $R$ e con $E$ ho indicato la topologia euclidea su $R$.
Voglio trovare tutti gli aperti della topologia meno fine fra quelle che rendono $f$ continua.
Ora, il problema è che non riesco a capire come fare per cercare la meno fine fra quelle che la rendono conitnua...
Intanto affinché $f$ sia continua, la controimmagine di aperti nell'euclidea deve essere un aperto in T.
Quindi sia $A$ un aperto dell'euclidea. Ho due casi
1) $0 \in A$: in questo caso la controimmagine di $A$ è dato da $Q \cup (I \cap A)$ dove con $I$ ho indicato gli irrazionali.
2) $0$ non sta in $A$: allora la controimmagine di $A$ è data da $A \cap I$ ovvero tutti gli irrazionali in A.
Quindi adesso come mi regolo?
Ovvero al variare degli aperti dell'euclidea mi ritrovo aperti nella topologia $T$ così siffatti ( se non sbaglio qualcosa
.. il che è probabile.. )...
Ma come faccio a prendere gli aperti della topologia meno fine?
Considero la base formata da ...
$B = {I \cap A | A \in E e 0 non in A} \cup {Q U (I \cap A) | A \in E , 0 \in A} $
Ho verificato che l'intersezione di qualsiasi due elementi di $B$ sta ancora in $B$ e che $R$ si esprime come unione di elementi della base. ..
Tutta via non riesco a capire se è la meno fine o la più fine... quindi.. come faccio a capire se è la meno fine o la più fine?
Poi mi chiede se $Q$ rispetto a tale topologia (MENO FINE) è chiuso.
Se è chiuso significa che $I$, il complementare di $Q$, è aperto: ma in questo caso con la topologia così definita non mi verrebbe da dire che è chiuso ... perchè $I$ non appartiene a $T$... sempre nel caso abbia definito gli aperti nel modo giusto..
Mi dite se ho sbagliato qualcosa o comunque... come posso ragionare per procedere?
Grazie mille a tutti
Sia $f: (R, T) -> (R, E)$ una mappa dove con T ho indicato una topologia su $R$ e con $E$ ho indicato la topologia euclidea su $R$.
Voglio trovare tutti gli aperti della topologia meno fine fra quelle che rendono $f$ continua.
Ora, il problema è che non riesco a capire come fare per cercare la meno fine fra quelle che la rendono conitnua...
Intanto affinché $f$ sia continua, la controimmagine di aperti nell'euclidea deve essere un aperto in T.
Quindi sia $A$ un aperto dell'euclidea. Ho due casi
1) $0 \in A$: in questo caso la controimmagine di $A$ è dato da $Q \cup (I \cap A)$ dove con $I$ ho indicato gli irrazionali.
2) $0$ non sta in $A$: allora la controimmagine di $A$ è data da $A \cap I$ ovvero tutti gli irrazionali in A.
Quindi adesso come mi regolo?
Ovvero al variare degli aperti dell'euclidea mi ritrovo aperti nella topologia $T$ così siffatti ( se non sbaglio qualcosa
.. il che è probabile.. )... Ma come faccio a prendere gli aperti della topologia meno fine?
Considero la base formata da ...
$B = {I \cap A | A \in E e 0 non in A} \cup {Q U (I \cap A) | A \in E , 0 \in A} $
Ho verificato che l'intersezione di qualsiasi due elementi di $B$ sta ancora in $B$ e che $R$ si esprime come unione di elementi della base. ..
Tutta via non riesco a capire se è la meno fine o la più fine... quindi.. come faccio a capire se è la meno fine o la più fine?
Poi mi chiede se $Q$ rispetto a tale topologia (MENO FINE) è chiuso.
Se è chiuso significa che $I$, il complementare di $Q$, è aperto: ma in questo caso con la topologia così definita non mi verrebbe da dire che è chiuso ... perchè $I$ non appartiene a $T$... sempre nel caso abbia definito gli aperti nel modo giusto..
Mi dite se ho sbagliato qualcosa o comunque... come posso ragionare per procedere?
Grazie mille a tutti
Risposte
Ogni altra topologia \(U\) per cui \(f\) è continua dovrà necessariamente contenere tali aperti. Per cui \(T \subseteq U\) e quindi si tratta della topologia meno fine.
Nota che \(\mathbb R - \{0\}\) è aperto nella topologia euclidea... Che cosa ti dice questo di \(I\)?
"apatriarca":
Nota che \(\mathbb R - \{0\}\) è aperto nella topologia euclidea... Che cosa ti dice questo di \(I\)?
Bene... Allora se $R - {0}$ è un aperto della topologia euclidea considero come aperto nella topologia $\tau$ il seguente $R - {0} \cap I$ che ovviamente mi da $I$.. Quindi $I$ è contenuto nella topologia. E allora Q è chiuso...
Perfetto grazie...
Poi se posso aggiungo anche un'altra domanda...
La chiusura di {0} è tutto $Q$ ?
Idem la chiusura di {1}...
Mentre la chiusura di $\sqrt(3)$ è $\sqrt(3)$ giusto ?
Grazie per la risposta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo