Una funzione derivabile ha la derivata continua?
Non mi pare di aver mai visto un teorema riguardo ciò, quindi mi chiedo:
se una funzione è derivabile è continua, ma la derivata stessa? E' sicuramente continua anch'essa?
Ho provato a pensare a controesempi ma non mi viene in mente nessun punto in cui la funzione sia derivabile, ma la derivata non è continua
se una funzione è derivabile è continua, ma la derivata stessa? E' sicuramente continua anch'essa?
Ho provato a pensare a controesempi ma non mi viene in mente nessun punto in cui la funzione sia derivabile, ma la derivata non è continua
Risposte
Credo che il classico $sin(1/x)x^2$ fuori da 0, 0 in 0, possa funzionare. Questa è derivabile su tutto $RR$ e quindi la derivata ha $RR$ come dominio, ma la derivata non è continua in zero, quindi la funzione non è $C^1$.
Parlavo di questo fatto proprio l'altro giorno con un collega, che ha tenuto un corso di Analisi 1 all'università e ha finito poco fa gli esami. Era imbestialito. "Ma insomma, ho messo nell'esame una domanda, pensavo di aiutarli, 'è vero che se una funzione è derivabile allora la derivata è continua?' Hanno sbagliato tutti quanti. Ma io li boccio tutti".
Io ho cercato di calmarlo. In fondo non è un errore così grave e scaturisce da un criterio che si usa comunemente per dimostrare che una funzione è derivabile: se una funzione è continua in un punto, e la derivata è prolungabile per continuità nello stesso, allora la funzione è anche derivabile in quel punto. Ma il viceversa non vale.
Io ho cercato di calmarlo. In fondo non è un errore così grave e scaturisce da un criterio che si usa comunemente per dimostrare che una funzione è derivabile: se una funzione è continua in un punto, e la derivata è prolungabile per continuità nello stesso, allora la funzione è anche derivabile in quel punto. Ma il viceversa non vale.
Sì, è un punto delicato, per chiarire meglio le cose suggerisco al tuo collega di dimostrare a lezione che la derivata di una funzione derivabile sopra un intervallo soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza tuttavia richiedere la sua continuità. In questo modo resta più in testa agli studenti il fatto che la continuità della derivata non segue dall'esistenza della stessa.
"Luca.Lussardi":
Sì, è un punto delicato, per chiarire meglio le cose suggerisco al tuo collega di dimostrare a lezione che la derivata di una funzione derivabile sopra un intervallo soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza tuttavia richiedere la sua continuità. In questo modo resta più in testa agli studenti il fatto che la continuità della derivata non segue dall'esistenza della stessa.
Ciao Luca, questo è un buon suggerimento per una classe di matematici. Certo se il corso è a biologi, o geologi io lascerei perdere.
Certo, è pur vero però che ad un esame per biologi e geologi ha senso chiedere se ci sono funzioni derivabili con derivata non continua? cioè vogliamo davvero che un biologo arrivi a queste finezze? Sono al limite anche per un ingegnere, secondo me.
"Luca.Lussardi":
Certo, è pur vero però che ad un esame per biologi e geologi ha senso chiedere se ci sono funzioni derivabili con derivata non continua? cioè vogliamo davvero che un biologo arrivi a queste finezze? Sono al limite anche per un ingegnere, secondo me.
Ha senso per fargli scrollare da dosso un po' di senso sì comune, ma abbondantemente falso.
Ovviamente, la domanda va tarata bene, ma questo fa parte del bagaglio di tecniche che un (buon?) didatta mette in campo quando ragiona su chi ha davanti e su come farlo riflettere sui punti fondamentali.
Ad ogni buon conto, può sempre tornare utile questo:
"gugo82":
Ricordo un articolo dell'AMM in cui si discuteva l'estrema utilità delle funzioni del tipo $x^alpha sin (1/x)$ nella costruzione di controesempi: H. Turgay Kaptanoğlu (2018) In praise of $y = x^\alpha sin(1/x)$, American Math. Month., v. 108, n. 2, pagg. 144-150.
"Luca.Lussardi":
Certo, è pur vero però che ad un esame per biologi e geologi ha senso chiedere se ci sono funzioni derivabili con derivata non continua? cioè vogliamo davvero che un biologo arrivi a queste finezze? Sono al limite anche per un ingegnere, secondo me.
Sono d'accordo.
@gugo: quell'articolo lo ricordo ed è proprio bellino, da suggerire come lettura extra per gente super motivata.
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