Limite in due variabili
Salve a tutti, stavo affrontando questo limite e dopo averlo risolto, controllando su wolfram mi viene un risultato differente e vorrei capire cosa mi sfugge nel ragionamento:
$lim_((x,y)->(0,0))((x^4+y^4)/(x^2+y^3))$, definita in ${(x,y) in RR^2: x^2+y^3!=0}$.
Facendo un'analisi iniziale, cioè controllando $(x,0)$ e $(0,y)$, il limite se esiste dovrebbe venire $0$.
Applicando il metodo delle coordinate polari:
$lim_(rho->0)((rho^4cos(theta)^4-rho^4sin(theta)^4)/(rho^2cos(theta)^2-rho^3sin(theta)^3))$ e svolgendo i passaggi otterrei:
$lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso concludere che il limite è $0$? Dopo averci riflettuto, io non lo direi per via del denominatore. E' corretto?
Avendo avuto questo dubbio, ho pensato di utilizzare il metodo delle rette e delle parabole, ottenendo in entrambi i casi che il risultato del limite è $0$. Il mio dubbio è che non so se non ho tenuto conto di qualcosa nei ragionamenti, perchè wolfram dice che il limite diverge, ma dal professore ci è stato detto che non sempre ciò che dice, per quanto riguarda le due dimensioni sia corretto per via del fatto che calcola i limiti attraverso delle approssimazioni.
Un'altra domanda: Nel metodo delle parabole, mi è venuto in mente di porre $y^3=-x^2+lambdax^4$, però non capisco se sia giusto e sopratutto quando aggiungere un secondo fattore per un valore $in RR$, in questo caso $+lambdax^4$.
Grazie mille per l'aiuto.
$lim_((x,y)->(0,0))((x^4+y^4)/(x^2+y^3))$, definita in ${(x,y) in RR^2: x^2+y^3!=0}$.
Facendo un'analisi iniziale, cioè controllando $(x,0)$ e $(0,y)$, il limite se esiste dovrebbe venire $0$.
Applicando il metodo delle coordinate polari:
$lim_(rho->0)((rho^4cos(theta)^4-rho^4sin(theta)^4)/(rho^2cos(theta)^2-rho^3sin(theta)^3))$ e svolgendo i passaggi otterrei:
$lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso concludere che il limite è $0$? Dopo averci riflettuto, io non lo direi per via del denominatore. E' corretto?
Avendo avuto questo dubbio, ho pensato di utilizzare il metodo delle rette e delle parabole, ottenendo in entrambi i casi che il risultato del limite è $0$. Il mio dubbio è che non so se non ho tenuto conto di qualcosa nei ragionamenti, perchè wolfram dice che il limite diverge, ma dal professore ci è stato detto che non sempre ciò che dice, per quanto riguarda le due dimensioni sia corretto per via del fatto che calcola i limiti attraverso delle approssimazioni.
Un'altra domanda: Nel metodo delle parabole, mi è venuto in mente di porre $y^3=-x^2+lambdax^4$, però non capisco se sia giusto e sopratutto quando aggiungere un secondo fattore per un valore $in RR$, in questo caso $+lambdax^4$.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Ciao! Lascia stare Wolfram|Alpha per queste cose, ha ragione il docente.
No, non puoi concludere che il limite è $0$. Tuttavia, se non espliciti cosa intendi dire con "per via del denominatore" non possiamo capirci e quindi non possiamo aiutarti nel capire se i ragionamenti che fai sono corretti o no.
Sì. è corretto, ma perché lo è? Dal fatto che chiami questi approcci "metodo delle...", secondo me ti è venuto questo dubbio in particolare perché non hai molto le idee chiare di cosa stai facendo quando consideri rette, parabole, ecc.; se non ti è chiaro, è normale che ti vengano dei dubbi. Perché consideri rette e parabole? E soprattutto, quali sono i confini di validità di questi ragionamenti? Perché non consideriamo $-x^2+\lambda x^4 +85$?
"Gianluk3":
$lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso concludere che il limite è $0$? Dopo averci riflettuto, io non lo direi per via del denominatore. E' corretto?
No, non puoi concludere che il limite è $0$. Tuttavia, se non espliciti cosa intendi dire con "per via del denominatore" non possiamo capirci e quindi non possiamo aiutarti nel capire se i ragionamenti che fai sono corretti o no.
"Gianluk3":
Un'altra domanda: Nel metodo delle parabole, mi è venuto in mente di porre $y^3=-x^2+lambdax^4$, però non capisco se sia giusto e sopratutto quando aggiungere un secondo fattore per un valore $in RR$, in questo caso $+lambdax^4$.
Sì. è corretto, ma perché lo è? Dal fatto che chiami questi approcci "metodo delle...", secondo me ti è venuto questo dubbio in particolare perché non hai molto le idee chiare di cosa stai facendo quando consideri rette, parabole, ecc.; se non ti è chiaro, è normale che ti vengano dei dubbi. Perché consideri rette e parabole? E soprattutto, quali sono i confini di validità di questi ragionamenti? Perché non consideriamo $-x^2+\lambda x^4 +85$?
"Mephlip":
Ciao! Lascia stare Wolfram|Alpha per queste cose, ha ragione il docente.
Perfetto!
"Mephlip":
No, non puoi concludere che il limite è $0$. Tuttavia, se non espliciti cosa intendi dire con "per via del denominatore" non possiamo capirci e quindi non possiamo aiutarti nel capire se i ragionamenti che fai sono corretti o no.
Io ho pensato che non fosse corretto come ragionamento perchè il denominatore si può annullare se $sin(theta)=cos(theta)$.
"Mephlip":
Sì. è corretto, ma perché lo è? Dal fatto che chiami questi approcci "metodo delle...", secondo ti è venuto questo dubbio in particolare perché non hai molto le idee chiare di cosa stai facendo quando consideri rette, parabole, ecc.; se non ti è chiaro, è normale che ti vengano dei dubbi. Perché consideri rette e parabole? E soprattutto, quali sono i confini di validità di questi ragionamenti? Perché non consideriamo $-x^2+\lambda x^4 +85$?
Considero rette e parabole perchè sono due "metodi", non so come altro chiamarli, che mi permettono di avvicinarmi in modo diverso al punto in cui voglio determinare se esista o meno il limite.
"Mephlip":
Perché non consideriamo $-x^2+\lambda x^4 +85$?
Penso che lo potremmo lo stesso considerare ma si complicherebbero solamente i calcoli?
"Gianluk3":
Io ho pensato che non fosse corretto come ragionamento perchè il denominatore si può annullare se $sin(theta)=cos(theta)$.
Questo non lo scrivere/dire mai in nessun scritto/orale di analisi della tua vita quando si parla di concetto di limite: tutta la teoria dei limiti nasce proprio perché, moralmente, vuoi sapere cosa succede intorno ad un punto verso il quale stai facendo tendere un altro senza che il punto sia mai coincidente con quello verso il quale sta tendendo; perciò il limite se ne frega altamente di quello che succede per la funzione nel punto di accumulazione, che in questo caso è $(0,0)$, anche se la funzione non è lì definita. Quindi non è questo il problema, anche perché la funzione in coordinate cartesiane ha lo stesso problema e non mi sembra che tu ti sia posto il problema quando, ad esempio considerando i punti del tipo $(x,0)$, hai fatto tendere $x$ a $0$. In più, il denominatore non si annulla mica quando $\sin\ theta = \cos \theta$, tipo se $\theta=\pi/4$ coseno e seno coincidono ma hai a denominatore $\frac{1}{2}-\rho^3 \frac{1}{2\sqrt{2}}$ e perciò c'è qualcosa che non va anche nei conti.
Comunque questo non è la causa del problema: il problema viene da un altro motivo, che è il punto focale che distingue i limiti in più variabili da quelli in una e si introduce alle primissime lezioni su questo argomento; come mai, nei limiti in più variabili, bisogna essere molto attenti a concludere cose apparentemente intuitive come il fatto che quel limite sia $0$ quando $\rho \to 0^+$? È una questione "geometrica", cosa dicono gli appunti a riguardo? E il libro di testo?
"Gianluk3":
Considero rette e parabole perchè sono due "metodi", non so come altro chiamarli, che mi permettono di avvicinarmi in modo diverso al punto in cui voglio determinare se esista o meno il limite.
Dici bene qui, stai considerando delle restrizioni ("curve" nel piano) lungo le quali ti avvicini al punto $(0,0)$: non sono "metodi", che detto così sembra che uno si sia imparato a memoria dei procedimenti senza sapere di cosa sta parlando. Infatti, mentre con questa risposta mi eri piaciuto e pensavo fossi conscio di cosa stava succedendo, purtroppo come temevo non è così a causa di quello che scrivi qui:
"Gianluk3":
Penso che lo potremmo lo stesso considerare ma si complicherebbero solamente i calcoli?
Prima affermi che consideri altre restrizioni per avvicinarti al punto, poi te ne propongo una che non passa per il punto (proprio a causa di quell'$85$) e ti sembra non ci siano problemi ("penso che potremmo considerarla") se non quello di complicarsi la vita con i conti ("si complicherebbero solamente i conti").
Quindi non è che ci sono "metodi", stai restringendo la funzione a "curve" passanti per il punto! Quindi la curva $y^3=-x^2+\lambdax^4$ va benissimo senza ombra di dubbio per ogni $\lambda \in \mathbb{R}$, proprio perché quel $\lambda$ è ininfluente nella verifica di appartenenza del punto $(0,0)$ al luogo geometrico di punti descritto dall'equazione $y^3=-x^2+\lambda x^4$.
"Mephlip":
Comunque questo non è la causa del problema: il problema viene da un altro motivo, che è il punto focale che distingue i limiti in più variabili da quelli in una e si introduce alle primissime lezioni su questo argomento; come mai, nei limiti in più variabili, bisogna essere molto attenti a concludere cose apparentemente intuitive come il fatto che quel limite sia $0$ quando $\rho \to 0^+$? È una questione "geometrica", cosa dicono gli appunti a riguardo? E il libro di testo?
$rho$ è la distanza del punto $x$ rispetto al centro $x_0$ , quindi per forza $rho>=0$ e quindi il limite si deve fare per $rho ->0^+$.
Però allora non riesco a capire il problema per il quale con le polari non funziona. Non vorrei sparare altre cavolate, ma riflettendoci, il fatto che non funzioni, può scaturire dal fatto che la frazione in seno e coseno, non sia limitata, pertanto non potrei dire che "infinitesima * limitata= infinitesima". Scusa se è un'altra cavolata ma sto cercando di capire e ti propongo le idee che mi vengono in mente per dire che con le polari non funziona.
Con le curve ci sono, ma quel metodo lo utilizzo quando ho il presentimento che il limite non esista, quindi l'avrei utilizzato partendo da una constatazione non vera.
"Mephlip":
Quindi non è che ci sono "metodi", stai restringendo la funzione a "curve" passanti per il punto! Quindi la curva $y^3=-x^2+\lambdax^4$ va benissimo senza ombra di dubbio per ogni $\lambda \in \mathbb{R}$, proprio perché quel $\lambda$ è ininfluente nella verifica di appartenenza del punto $(0,0)$ al luogo geometrico di punti descritto dall'equazione $y^3=-x^2+\lambda x^4$.
Hai ragione scusami, perchè qui il punto da anaizzare è $0$ e la retta che mi hai proposto non ci passa.
Non è che le coordinate polari non funzionano, è che i limiti in più variabili devono esistere per ogni possibile restrizione lungo la quale $(x,y) \to (x_0,y_0)$; quindi, dato che la funzione $\frac{\rho^2(\cos^4 \theta+ \sin^4 \theta)}{\cos^2 \theta - \rho^3 sin^3 \theta}$ dipende da $\theta$ e $\theta$ è l'angolo che il segmento di lunghezza $\rho$ forma con il semiasse polare di polo l'origine (semiasse che, in questo caso, coincide con il semiasse delle $x>0$), se il limite dipende da $\theta$ non hai certezze che il risultato trovato, anche se va sempre a $0$ quando $\rho \to 0^+$, sia quello per ogni possibile curva (perché anche se va a $0$ per ogni $\theta$, ciò in coordinate polari significa "muoversi lungo tutte le semirette uscenti dall'origine", quindi non sai se c'è una curva strana passante per l'origine lungo la quale il limite è diverso da $0$).
Perciò, se vuoi dimostrare che un limite $l$ esiste in coordinate polari, devi considerare $|f(x_0+\rho \cos \theta ,y_0+ \rho \sin \theta)-l|$ ed eliminare la dipendenza da $\theta$ di $f$ (ad esempio facendo maggiorazioni); ottenendo una funzione $g(\rho)$ indipendente da $\theta$ e tale che $g(\rho) \to 0$ per $\rho \to 0^+$.
Se riesci a farlo in questo esercizio con la funzione $\frac{\rho^2(\cos^4 \theta+\sin^4 \theta)}{\cos^2 \theta - \rho^3 \sin^3 \theta}$, allora il limite è $0$; altrimenti, devi esibire una restrizione passante per $(0,0)$ lungo la quale il limite di $f$ è non nullo quando $(x,y) \to (0,0)$.
Edit: Avevo scritto "segmento di raggio $\rho$" anziché "segmento di lunghezza $\rho$".
. Corretta la punteggiatura.
Perciò, se vuoi dimostrare che un limite $l$ esiste in coordinate polari, devi considerare $|f(x_0+\rho \cos \theta ,y_0+ \rho \sin \theta)-l|$ ed eliminare la dipendenza da $\theta$ di $f$ (ad esempio facendo maggiorazioni); ottenendo una funzione $g(\rho)$ indipendente da $\theta$ e tale che $g(\rho) \to 0$ per $\rho \to 0^+$.
Se riesci a farlo in questo esercizio con la funzione $\frac{\rho^2(\cos^4 \theta+\sin^4 \theta)}{\cos^2 \theta - \rho^3 \sin^3 \theta}$, allora il limite è $0$; altrimenti, devi esibire una restrizione passante per $(0,0)$ lungo la quale il limite di $f$ è non nullo quando $(x,y) \to (0,0)$.
Edit: Avevo scritto "segmento di raggio $\rho$" anziché "segmento di lunghezza $\rho$".
. Corretta la punteggiatura.
Perfetto ora ho capito. Grazie mille!
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