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Salve a tutti. Sto riscontrando problemi nel risolvere il pb di Cauchy \[ \begin{cases} y' = ye^t \\ y(0) = 0 \end{cases} \] Con il metodo di separazione delle variabili. Infatti, mi risulta: \[ \frac{dy}{y} = e^t \, dt \leadsto \int \frac{dy}{y} = \int e^t \, dt \leadsto \ln |y| = e^t + C \] da cui: \[ y(t) = e^{e^t + C}. \] Se però provo a porre le C.I., risulta: \[ y(0) = 0 \implies e^{1 + C} = 0 \] il che è assurdo. Qualcuno può aiutarmi?

Un modulo sta toccando il suolo lunare dove l'accelerazione di gravità è $1.60 (m)/(s^2)$. Ad un'altezza di $165 m$ dal suolo il veicolo scende verticalmente a $18 (m)/(s)$. Per rallentarlo viene acceso un retrorazzo che gli imprime una spinta verso l'alto. Calcola il valore della spinta verso l'alto, sapendo che la velocità del modulo è zero quando tocca il suolo lunare. Ragionamento: Ho risolto l'esercizio con la legge spazio-velocità del moto uniformemente accelerato, non ...

Ciao ragazzi avrei difficolta nella risoluzione di questi due esercizi: Esercizio 1 Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento $ P(s)= (s-1)/(s+1)^2$ Progettare un controllore in maniera che il sistema controllato in controreazione sia BIBO stabile e di tipo 1 Saprei svolgerlo nel caso la richiesta sia solo che il sistema sia di tipo 1 , in quel caso infatti dovrei semplicemente moltiplicare per $$G(s)=K_g /s$$ in modo da aggiungere un polo ...

Salve a tutti, sono agli inizi della fisica meccanica e mi sono imbattuto in questo problema che per alcuni di voi sarà banale: Un corpo di massa M é tenuto in equilibrio da una forza applicata F a un sistema di pulegge. Le pulegge si considerano di massa trascurabile e senza attrito. (a) Disegnare un diagramma di corpo libero per ogni puleggia. Trovare (b) la tensione in ciascuna sezione della fune, T1, T2, T3, T4 e T5 e (c) il modulo di F. Non saprei bene da dove iniziare, ...

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio di geometria/algebra ma non riesco a venirne fuori e chiedo quindi gentilmente il vostro aiuto Ecco il testo: Costruire due rette sghembe che distano tra loro 1, la prima passante per l’origine, l’altra per il punto A(-1,0,0). Ho provato a scrivere un po' di equazioni, ma non ne vengo fuori: equazioni delle rette passante per i 2 punti: r: x=lt; y=mt; z=nt s; x=-1 +m’t’; y=m’t’; z=n’t’ condizione affinche’ le rette siano sghembe: mn’-m’n ...

Ciao a tutti voi, vorrei chiedere un aiuto su questo esercizio perché l'ho lasciato indietro essendomi completamente bloccato. Molti mi sono venuti ma questo non ho grandi idee Sia \( p = (x_0, y_0, z_0) \in S \). Dimostrare che: 1. Se \( S = f^{-1}(0) \), per qualche funzione regolare \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), allora \( T_pS \) ha equazione \[ \nabla f(p) \cdot (x, y, z) = 0 \] (oppure: \( \nabla f(p) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \), intendendo il ...

Ciao a tutti. Riporto qui il testo e lo svolgimento di un problema di Cauchy in cui mi sono imbattuto. Sia $y(t)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy: \[ \begin{cases} y' = y + t^2 \\ y(0) = 0 \end{cases} \text{.} \] Determinare $y(1)$. Soluzione Riscrivo l'equazione differenziale del problema come: \[ y' - y = t^2. \] Considero una primitiva di $y$, per poi moltiplicare a destra e a sinistra per ...

Buongiorno a tutti! Ho un dubbio sulla definizione di sequenza stazionaria di varabile aleatorie. Una sequenza di variabili aleatorie $ X_1,X_2,... $ viene definita stazionaria se i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ hanno la stessa distribuzione congiunta di probabilità per qualsiasi $ j $ intero positivo. Il mio dubbio è: se una sequenza di variabili aleatorie è stazionaria, allora le variabili aleatorie della sequenza sono identicamente distribuite? Ho fatto questo ...

Salve a tutti, sto provando a fare questo esercizio ma ho alcuni dubbi riguardanti il condensatore C. Vi spiego il mio ragionamento. Dalla teoria mi sembra di capire che la parte di circuito che va in ingresso al morsetto positivo dell'amplificatore è un passa-alto. Di conseguenza mi viene da pensare che quando [tex]t < 1ms[/tex] e [tex]t >3ms[/tex]il potenziale su [tex]V^+ = 0V[/tex], quindi per il cortocircuito virtuale anche [tex]V^- = 0V[/tex] e quindi nel transistor non scorre ...

Ciao a tutti, Mi sono ritrovato a fare questo esercizio sulle equazioni differenziali lineari. Il testo è il seguente: Determinare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale \( x^2y''(x)+4xy'(x)+2y(x)=x^2+\dfrac{1}{x} \) che soddisfano la condizione \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \) Posso supporre che \( x>0 \) e cerco una soluzione in \( (0,+\infty) \). L'equazione differenziale risulta equivalente a \( y''(x)+\dfrac{4}{x}y'(x)+\dfrac{2}{x^2}y(x)=1+\dfrac{1}{x^3} ...

Ciao, ho bisogno di una mano per capire una notazione che non capisco proprio. Il professore scrive per la derivata direzionale: $(partialf)/(partialvecv)=df(v)=d/(dt)(f∘alpha)$ dove $dotalpha(t)=v$ questa cosa mi smebra tornarmi perché la prima è la formula del gradiente, la seconda dice che per composizione di funzioni e formula del gradiente è vera quella catena di =. Problema, però poi va a scrivere quando segue (data alpha curva al solito): $ddotalpha(s)=d/(ds)dotalpha(s)$ Io l'avevo interpretata come: $ddotalpha(s)=(partialdotalpha)/(partialv)$ ove ...

Per \(n \in \mathbb{N} \), definiamo \[f_n (x) = \prod_{k = 1}^n \cos( k x). \] Trovare il piu' piccolo \( n \in \mathbb{N}\) tale che \( |f^{''} _n (0)| > 2023 \).

Ciao a tutti. Mi sono imbattuto nella serie seguente: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!} \] Secondo voi c'è un modo per risolverla senza scomodare il criterio del rapporto? Grazie per l'attenzione

Ho due gruppi ciclici \(C_m\) e \(C_n\) di ordine \(m\) e \(n\) rispertivamente, di cui si danno i generatori \(a\) e \(b\) rispettivamente. Voglio cercare di avere un'idea sui prodotti semidiretti \(C_n \rtimes_\theta C_m\) con \(\theta : C_m \to \operatorname{Aut}(C_n)\) omomorfismo. La presentazione che inizia con le informazioni sugli ordini degli elementi, \(a^m = 1\) e \(b^n = 1\). Gli elementi di \(\operatorname{Aut}(C_n)\) sono esattamente della forma \(\lambda g . g^k\) per \(k < n\) e ...

Buongiorno, sono un ingegnere del vecchissimo ordinamento. Mi è rimasto un debole per la matematica che ho sempre avuto fin dal liceo. Vi prego di perdonarmi se appaio presuntuoso ma c'è tutto un pezzo di teoria che mi manca( come vi ho detto sono solo un ingegnere). Vi prego di spiegarmi i seguenti passaggi che non ho proprio capito e che ho evidenziato nell'immagine di sotto. Grazie per tutto.

Voglio condividere con voi i passaggi per la determinazione del carattere delle serie seguenti \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^3 \frac{\pi n}{n+5}}{\sqrt{n^2 + n}-n}; \qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right) \] Come al solito, sono felice di ricevere suggerimenti/feedback . Per la prima si ha che \begin{align*} \sin^3 \frac{\pi n}{n+5} &= \sin^3 \left( \pi - \frac{\pi n}{n+5} \right) = \sin^3\frac{\pi(n + 5) - \pi n}{n+5} = \sin^3 \frac{\pi n + 5 ...

Buonasera, avevo dei dubbi su questo esercizio sull'integratore di Miller reale. L'ho svolto, ma non so se sia giusto. Del circuito seguente, considerando in ingresso l’impulso di corrente riportato in figura, e considerando l’op-amp ideale, calcolare e graficare (indicando i valori di tensione e gli istanti di tempo corretti) l’andamento nel tempo della tensione di uscita VOUT. Per quanto riguarda il procedimento, io l'ho svolto così: per t3, non scorre alcuna ...

Salve, cerco un aiuto perché vorrei dimostrare un asserto che mi sembra vero e mi sono costruito nello studio della teoria, cioè: Dimostrare che la topologia generata da una distanza soddisfa il primo assioma di numerabilità, l’assioma T2 (spazio di Hausdorff), e che le sue successioni convergenti sono di Cauchy. Il fatto è che non riesco bene a capire come fare, sono cose che ho appena studiato e non padroneggio ancora alla perfezione. Potreste gentilmente aiutarmi ad arrivare a ...

Ciao a tutti sto seguendo il libro di Algebra Lineare di Lang. Questo è l'esercizio 10, tratto dal paragrafo 14 del capitolo 3. Il testo dell'esercizio è il seguente: Sia $ M $ una matrice $ nxx n $ tale che $ M^T=M $. Assegnati due vettori colonna nell' $ n $-spazio, siano essi $ A $ e $ B $, si definisca $ \langle A,B \rangle $ come il prodotto $ A^TMB $. (Si identifichi una matrice $ 1xx 1 $ con un numero.) ...

Ciao nel problema "Un recipienti cilindrico di volume V è dotato di pareti laterali adiabatiche e basi diatermiche. Il cilindro è a sua volta internamente diviso, mediante un setto adiabatico e libero di scorrere senza attrito, in due parti (A e B) uguali in ciascuna delle quali sono contenute 2 moli di gas perfetto monoatomico. Il sistema è inizialmente in equilibrio alla T=300K. Si supponga che al gas A sia fornito calore in modo reversibile fino al punto in cui gas 2 dimezza il proprio ...