[Elettrotecnica] Mutui accoppiamenti e trasformatori
Ciao a tutti, avrei bisogno di qualche chiarimento sul trattamento di trasformatori e di induttori magneticamente accoppiati all'interno di un circuiito. Prendiamo, ad esempio, questo circuito
Vogliamo determinare il circuito equivalente Thevenin visto ai capi del generatore di corrente. Le operazioni vengono fatte nel dominio dei fasori. Quindi
$ J=/_ \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}(\sqrt{3} + j) $ ; $ \omega = 300 $ ; $ Z_L=j0.9 $ ; $ R=2 $
Considerazione 1: poiché i morsetti di interesse sono quelli dell'unico generatore indipendente presente, Il circuito equivalente Thevenin che dovremmo ottenere è costituito da un generatore di tensione che eroga tensione nulla ($V_{TH} = 0$), un'impedenza di equivalente ($Z_{TH} $ o $Z_{eq}$) ed il nostro generatore $J$ , tutti in serie tra loro.
Considerazione 2: ancora una volta, i morsetti di interesse sono quelli dell'unico generatore indipendente presente. Allora il calcolo della $Z_{TH}$ , se non erro, coincide con quello dell'impedenza di ingresso $Z_{IN}$ .
Il mio primo approccio è stato quello di sostituire il mutuo accoppiamento con il circuito equivalente a "T".
Le relazioni costitutive del circuito a "T" sono
$ [ ( V_1 ),( V_2 ) ] = [ ( j\omega(L_a +L_c) , j\omegaL_c ),( j\omegaL_c , j\omega(L_b + L_c) ) ] [(I_1),(I_2)] $ , dalle quali ricaviamo che $ { ( L_c = M = 3.46 mH),( La + L_c = L_1 \rightarrow L_a =0.54 mH ),( L_b+ L_c =L_2 \rightarrow L_b =-0.46 mH ):} $ . Dato che $Z_{L_b} < 0 $, invece di un induttore inseriamo un condensatore. La tensione indotta dall'accoppiamento ha polarità negativa, per cui anche al posto di $Z_{L_c}$ inseriamo un condensatore. Quindi abbiamo
La presenza del generatore pilotato ci costringe ad applicare un generatore di corrente (o di tensione) al posto del generatore $J$ per calcolare $Z_{TH}$. Io ho impiegato un generatore di corrente $g$ di valore 1A. Utilizzando il metodo delle correnti di maglia, ho che
$ [ ( 2 , -2 , 0 ),( 2 , -(2 + Z_{L'} + Z_{L_c}) , Z_{L_c} ),( 0 , Z_{L_c} , (Z_{L_c} - Z_{L_b}) ) ] [(1),(m_2),(m_3)] = [ ( V_g ),( 0 ),(1-m_2) ] $ , dove $ Z_{L'}= Z_L + Z_{L_a}= j1.062 $ .
Da questo sistema otteniamo che $ V_g=2 - 2m_2 =0.23-j0.64 \rightarrow Z_{TH}=V_g = 0.23-j0.64 $. Il calcolatore restituisce come risultato $V_g =0.24 -j0.65$ .
Per verificare questo risultato, ho provato a tradurre il mutuo accoppiamento in termini di trasformatore ideale ed altri componenti. Al posto della coppia di induttori L1 e L2 avremo
dove $ { ( \frac{V_2}{V_1} = -n ),( \frac{I_2}{I_1}= - 1/n),( n= \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}= \sqrt{3/4} ):} $ . Per calcolare $Z_{TH}$ , trasportiamo tutto ciò che è sul lato secondario nel primario. Qui il generatore pilotato viene trattato come un generatore normale? Io, seguendo questa strada ho
Ora, applicando il metodo dei potenziali nodali, ho il sistema
$ [ ( (1/2 + \frac{1}{Z_L}) , -\frac{1}{Z_L} ),( \frac{1}{Z_L} , -(\frac{1}{Z_L} + \frac{n^2}{Z_{L}}) ) ] [ ( e_A ),( \frac{e_A}{\sqrt{3}} ) ] = [ ( 1 ),( I_p ) ] $ ; con $I_p$ si intende la corrente che attraversa il generatore pilotato. Dalla prima equazione risulta che $ e_A = 0.15 +j0.52 = V_g = Z_{TH}$ .
I due risultati dovrebbero coincidere. Perché sono diversi? E' evidente che siano presenti degli errori, non di calcolo. Qualcuno potrebbe aiutarmi a venirne a capo?
Vogliamo determinare il circuito equivalente Thevenin visto ai capi del generatore di corrente. Le operazioni vengono fatte nel dominio dei fasori. Quindi
$ J=/_ \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}(\sqrt{3} + j) $ ; $ \omega = 300 $ ; $ Z_L=j0.9 $ ; $ R=2 $
Considerazione 1: poiché i morsetti di interesse sono quelli dell'unico generatore indipendente presente, Il circuito equivalente Thevenin che dovremmo ottenere è costituito da un generatore di tensione che eroga tensione nulla ($V_{TH} = 0$), un'impedenza di equivalente ($Z_{TH} $ o $Z_{eq}$) ed il nostro generatore $J$ , tutti in serie tra loro.
Considerazione 2: ancora una volta, i morsetti di interesse sono quelli dell'unico generatore indipendente presente. Allora il calcolo della $Z_{TH}$ , se non erro, coincide con quello dell'impedenza di ingresso $Z_{IN}$ .
Il mio primo approccio è stato quello di sostituire il mutuo accoppiamento con il circuito equivalente a "T".
Le relazioni costitutive del circuito a "T" sono
$ [ ( V_1 ),( V_2 ) ] = [ ( j\omega(L_a +L_c) , j\omegaL_c ),( j\omegaL_c , j\omega(L_b + L_c) ) ] [(I_1),(I_2)] $ , dalle quali ricaviamo che $ { ( L_c = M = 3.46 mH),( La + L_c = L_1 \rightarrow L_a =0.54 mH ),( L_b+ L_c =L_2 \rightarrow L_b =-0.46 mH ):} $ . Dato che $Z_{L_b} < 0 $, invece di un induttore inseriamo un condensatore. La tensione indotta dall'accoppiamento ha polarità negativa, per cui anche al posto di $Z_{L_c}$ inseriamo un condensatore. Quindi abbiamo
La presenza del generatore pilotato ci costringe ad applicare un generatore di corrente (o di tensione) al posto del generatore $J$ per calcolare $Z_{TH}$. Io ho impiegato un generatore di corrente $g$ di valore 1A. Utilizzando il metodo delle correnti di maglia, ho che
$ [ ( 2 , -2 , 0 ),( 2 , -(2 + Z_{L'} + Z_{L_c}) , Z_{L_c} ),( 0 , Z_{L_c} , (Z_{L_c} - Z_{L_b}) ) ] [(1),(m_2),(m_3)] = [ ( V_g ),( 0 ),(1-m_2) ] $ , dove $ Z_{L'}= Z_L + Z_{L_a}= j1.062 $ .
Da questo sistema otteniamo che $ V_g=2 - 2m_2 =0.23-j0.64 \rightarrow Z_{TH}=V_g = 0.23-j0.64 $. Il calcolatore restituisce come risultato $V_g =0.24 -j0.65$ .
Per verificare questo risultato, ho provato a tradurre il mutuo accoppiamento in termini di trasformatore ideale ed altri componenti. Al posto della coppia di induttori L1 e L2 avremo
dove $ { ( \frac{V_2}{V_1} = -n ),( \frac{I_2}{I_1}= - 1/n),( n= \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}= \sqrt{3/4} ):} $ . Per calcolare $Z_{TH}$ , trasportiamo tutto ciò che è sul lato secondario nel primario. Qui il generatore pilotato viene trattato come un generatore normale? Io, seguendo questa strada ho
Ora, applicando il metodo dei potenziali nodali, ho il sistema
$ [ ( (1/2 + \frac{1}{Z_L}) , -\frac{1}{Z_L} ),( \frac{1}{Z_L} , -(\frac{1}{Z_L} + \frac{n^2}{Z_{L}}) ) ] [ ( e_A ),( \frac{e_A}{\sqrt{3}} ) ] = [ ( 1 ),( I_p ) ] $ ; con $I_p$ si intende la corrente che attraversa il generatore pilotato. Dalla prima equazione risulta che $ e_A = 0.15 +j0.52 = V_g = Z_{TH}$ .
I due risultati dovrebbero coincidere. Perché sono diversi? E' evidente che siano presenti degli errori, non di calcolo. Qualcuno potrebbe aiutarmi a venirne a capo?
Risposte
In questo caso, commentare i tuoi metodi sarebbe lungo, ma visto che in questo momento non ho tempo per farlo, ti dico come avrei risolto io, che come ben sai preferisco i metodi dell'antico Egitto. 
Senza nessuna trasformazione circuitale, avrei ipotizzato una "falsa" corrente ir=1 A, per poi andare a risolvere il sistema ottenuto dalle relazioni costitutive del mutuo induttore e dalle KVL agli anelli centrale e destro; se ti va di provare, potrai controllare quale fra i tuoi risultati sia quello corretto.
Senza nessuna trasformazione circuitale, avrei ipotizzato una "falsa" corrente ir=1 A, per poi andare a risolvere il sistema ottenuto dalle relazioni costitutive del mutuo induttore e dalle KVL agli anelli centrale e destro; se ti va di provare, potrai controllare quale fra i tuoi risultati sia quello corretto.
"RenzoDF":
In questo caso, commentare i tuoi metodi sarebbe lungo, ma visto che in questo momento non ho tempo per farlo, ti dico come avrei risolto io, che come ben sai preferisco i metodi dell'antico Egitto.
Senza nessuna trasformazione circuitale, avrei ipotizzato una "falsa" corrente ir=1 A, per poi andare a risolvere il sistema ottenuto dalle relazioni costitutive del mutuo induttore e dalle KVL agli anelli centrale e destro; se ti va di provare, potrai controllare quale fra i tuoi risultati sia quello corretto.
Ciao Renzo, grazie della risposta.
In sede di esame dovrò usare il secondo tra i due metodi da me tentati, perciò mi premeva cercare di capire quei due. Detto questo, ho tentato di inserire il disegno del circuito realizzato in fidocad, ma non ne vuole sapere. Quello che mi suggerisci è di proseguire con un circuito dall'aspetto 
e sfruttare le relazioni
$ [ ( V_{L_1} ),( V_{L_2} ) ] = [ ( j\omegaL_1 , -j\omegaM ),( -j\omegaM , j\omegaL_2 ) ] [ ( I_1 ),( I_2 ) ] $ , dove $I_1 = I_R$ ed il segno negativo dei termini fuori diagonale è dovuto alla "convenzione dei puntini"?
Spero che, compatibilmente con i tuoi impegni, avremo modo di approfondire.
"xh144fata":
... In sede di esame dovrò usare il secondo tra i due metodi da me tentati, perciò mi premeva cercare di capire quei due. ...
Li vedremo di certo, prima o poi.
"xh144fata":
... ho tentato di inserire il disegno del circuito realizzato in fidocad, ma non ne vuole sapere. ...
Lascia perdere, postare il codice FidoCadj qui è impossibile[nota]E non resta che postare un'immagine da FidoCadJ, che col tempo scomparirà, rendendo il post illeggibile.
[/nota], fino a quando i gestori del forum non si decidono a sistemare la compatibilità. Ho più volte fatto notare il problema, ma sembra che non siano disposti a risolverlo. 
"xh144fata":
... Quello che mi suggerisci è di proseguire con un circuito dall'aspetto ...
e sfruttare le relazioni ...
No, io mi riferivo al circuito completo del GIC unitario ($J=1A$), ovvero al seguente
andando a scrivere le due seguenti relazioni
$V_1= RI_R-jX_LI_1=j X_1I_1+jX_MI_2$
$V_2=-aI_R=jX_MI_1+jX_2I_2$
e ipotizzata una "falsa" $I_{R_f}=1 A$, risolverlo per determinare le false correnti $I_{1_f}$, $I_{2_f}$, e di conseguenza la "falsa" corrente impressa dal GIC, $J_f=I_{R_f}+I_{1_f}$; da questa si può ricavare il coefficiente di conversione da grandezza falsa a vera $k=J/J_f$ ed ottenere infine la vera tensione VR ai morsetti del GIC
$V_R=V_{R_f} k=R\cdot I_{R_f}\cdot k=2k$ e quindi
$Z_{Th}=V_R/J$
NB I punti servono per fissare le convenzioni per correnti e tensioni del mutuo induttore, ovvero, normalmente, correnti entranti nei punti e tensioni con positivo sui punti.
"RenzoDF":
Lascia perdere, postare il codice FidoCadj qui è impossibile, fino a quando i gestori del forum non si decidono a sistemare la compatibilità. Ho più volte fatto notare il problema, ma sembra che non siano disposti a risolverlo.
Quindi non è un problema che ho solo io. In effetti, alcune vecchie discussioni sono incomprensibili senza le immagini.
"RenzoDF":
andando a scrivere le due seguenti relazioni
$V_1= RI_R-jX_LI_1=j X_1I_1+jX_MI_2$
$V_2=-aI_R=jX_MI_1+jX_2I_2$
e ipotizzata una "falsa" $I_{R_f}=1 A$, risolverlo per determinare le false correnti $I_{1_f}$, $I_{2_f}$, e di conseguenza la "falsa" corrente impressa dal GIC, $J_f=I_{R_f}+I_{1_f}$; da questa si può ricavare il coefficiente di conversione da grandezza falsa a vera $k=J/J_f$ ed ottenere infine la vera tensione VR ai morsetti del GIC
$V_R=V_{R_f} k=R\cdot I_{R_f}\cdot k=2k$ e quindi
$Z_{Th}=V_R/J$
NB I punti servono per fissare le convenzioni per correnti e tensioni del mutuo induttore, ovvero, normalmente, correnti entranti nei punti e tensioni con positivo sui punti.
Grazie per la spiegazione, mi porti sempre a scoprire cose nuove
Per quanto riguarda la convenzione dei puntini, quello che mi sembra di aver capito è: se la corrente esce dal terminale col puntino di uno solo dei due induttori, la tensione indotta ha segno negativo. La tensione indotta ha segno negativo anche se i due "puntini" non sono "uno di fronte all'altro" (quando gli induttori sono in parallelo). Il problema che sto avendo è nei segni quando passo dal mutuo accoppiamento al trasformatore ideale: le relazioni tra tensioni e correnti dei due lati, da definizione, sono $ { ( \frac{V_1}{V_2} = a ),( \frac{I_1}{I_2} = -\frac{1}{a} ):} $
Con i riferimenti di questo schema. La convenzione dei puntini dovrebbe influenzare i segni di queste relazioni, o sbaglio?
_________Aggiornamento
Seguendo il tuo suggerimento, ho che
$ [ ( (Z_L + Z_{L_1}) , j\omegaM ),( j\omegaM , Z_{L_2} ) ] [ ( I_{1_f} ),( I_{2_f} ) ] =[ ( 2 ),( -1 ) ] $
da cui ricavo $ k= 0.075+j0.26 \rightarrow Z_{TH}= 0.15 +j0.52 $ .
Questo risultato sembra coincidere con quello ottenuto traducendo il mutuo accoppiamento in termini di trasformatore ideale.
Stai sbagliando, ricontrolla.
"RenzoDF":
Stai sbagliando, ricontrolla.
Grazie
ho corretto, adesso dovrebbe andare meglio. Se non sono stati fatti altri errori, vuol dire che il problema qui è nel circuito a "T" . No?Per quanto riguarda i miei dubbi sui segni, nel mio ultimo messaggio, qual è il tuo pensiero?
"xh144fata":
... vuol dire che il problema qui è nel circuito a "T" . No?...
Esatto
"xh144fata":
... Per quanto riguarda i miei dubbi sui segni, nel mio ultimo messaggio, qual è il tuo pensiero?
Per i dubbi sui segni, ti ricordo che si tratta solo di scelte arbitrarie, di conseguenza, partendo dalle relazioni costitutive, valide per la classica scelta su correnti e tensioni di un doppio bipolo
che risultano quelle da te già indicate
$ { ( \frac{v_1}{v_2} = n ),( \frac{i_1}{i_2} = -\frac{1}{n} ):} $
se si va a cambiare la convenzione per una o più grandezze, quelle relazioni cambiano di conseguenza, e quindi elencare tutte le possibili varianti è del tutto inutile.
Se, per esempio scegli una corrente secondaria $i_2'$ uscente invece che entrante, nelle relaz. cost. andrai a sostituire $i_2$ con $-i_2'$, ottenendo così le nuove. Parimenti per il mutuo induttore.
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