$sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2}\right)}$
Ciao a tutti.
Mi sono imbattuto, come da titolo, nella serie seguente:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} \qquad \text{ove} \qquad a_n = n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2}\right)
\]
e non riesco a determinarne il carattere. Per il momento ho solo stabilito che la serie rispetta la condizione necessaria affinché converga. Infatti:
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty} n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2+1}{n^2} \right) &= \lim_{n \to +\infty} n^3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2} \right) \\
&= \left( \lim_{n \to +\infty} n^3 \right) \left( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} - \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^2}\right) \\
&= \underbrace{\left( \lim_{n \to +\infty} n^3 \right)}_{=+\infty} \left[ \underbrace{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}}_{=0} - \underbrace{\lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)}_{=1} \right] = -\infty
\end{align*}
pertanto $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.
Ho provato a usare lo sviluppo di Taylor di $\cos \frac{1}{x} $, ma onestamente penso che mi stavo confondendo troppo.
Qualche dritta?
Grazie
Mi sono imbattuto, come da titolo, nella serie seguente:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} \qquad \text{ove} \qquad a_n = n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2}\right)
\]
e non riesco a determinarne il carattere. Per il momento ho solo stabilito che la serie rispetta la condizione necessaria affinché converga. Infatti:
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty} n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2+1}{n^2} \right) &= \lim_{n \to +\infty} n^3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2} \right) \\
&= \left( \lim_{n \to +\infty} n^3 \right) \left( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} - \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^2}\right) \\
&= \underbrace{\left( \lim_{n \to +\infty} n^3 \right)}_{=+\infty} \left[ \underbrace{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}}_{=0} - \underbrace{\lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)}_{=1} \right] = -\infty
\end{align*}
pertanto $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.
Ho provato a usare lo sviluppo di Taylor di $\cos \frac{1}{x} $, ma onestamente penso che mi stavo confondendo troppo.
Qualche dritta?
Grazie
Risposte
$1/n$?
"ghira":
$1/n$?
Vediamo se ho indovinato (criterio degli infinitesimi):
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^3 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2} \right)} &= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 \left( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2} \right)} = \text{(stessi calcoli di prima all'incirca)} = 0
\end{align*}
Così non va. Per essere d'aiuto doveva essere diverso da zero
Quanto fa $cos(0)$? Comunque l'idea di sviluppare con Taylor è buona.
Ciao ncant,
In effetti risulta $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 (\cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2})} = 0$ sicché la serie proposta può convergere. Se lo fa però converge ad un valore negativo, infatti la serie proposta può scriversi equivalentemente nel modo seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2})} = - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(1 - \cos \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}$
L'ultima serie scritta è a termini positivi e a questo punto puoi usare il limite notevole ed osservare che [tex]1 - \cos \bigg(\frac{1}{n}\bigg) \sim \frac{1}{2n^2}[/tex] e quindi la serie proposta si comporta come la serie seguente:
$ - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(\frac{1}{2n^2} + \frac{1}{n^2})} = - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(\frac{3}{2n^2})} = - 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n}$
Dato che l'ultima scritta è la serie armonica, com'è ben noto positivamente divergente, si conclude che la serie proposta è negativamente divergente.
In effetti risulta $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 (\cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2})} = 0$ sicché la serie proposta può convergere. Se lo fa però converge ad un valore negativo, infatti la serie proposta può scriversi equivalentemente nel modo seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3( \cos \frac{1}{n} - \frac{n^2 + 1}{n^2})} = - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(1 - \cos \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}$
L'ultima serie scritta è a termini positivi e a questo punto puoi usare il limite notevole ed osservare che [tex]1 - \cos \bigg(\frac{1}{n}\bigg) \sim \frac{1}{2n^2}[/tex] e quindi la serie proposta si comporta come la serie seguente:
$ - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(\frac{1}{2n^2} + \frac{1}{n^2})} = - \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^3(\frac{3}{2n^2})} = - 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n}$
Dato che l'ultima scritta è la serie armonica, com'è ben noto positivamente divergente, si conclude che la serie proposta è negativamente divergente.
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