Integrale nell'analisi del moto di un proiettile

[Littlejacob26]

Dato il problema
\[x^{\prime \prime}(t) = -\frac{1}{(1+\epsilon x(t))^{2}}\]
\[x(0) = 0, \quad x^{\prime}(0)= 1\]
l'approccio del professore è stato di integrare doppiamente ottenendo
\[x(t)=t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau}\frac{ds}{(1+\epsilon x(s))^{2}}d\tau = t - \int_{0}^{t}\frac{(t-\tau)d\tau}{(1+\epsilon x(\tau))^{2}}\]
Non mi è chiaro come abbia risolto l'integrale rispetto ad $s$. Ho provato per parti, sostituendo, ma senza un $x^{\prime}$ al nominatore non sembra possibile. Inoltre derivando il suo risultato, non sono riuscito a tornare alla funzione iniziale. È effettivamente giusto il risultato?

ps. $\epsilon$ è una costante

[pilloeffe]

Ciao Littlejacob26,

"Littlejacob26":Inoltre derivando il suo risultato, non sono riuscito a tornare alla funzione iniziale.

Questo non è un indizio che deponga a favore della correttezza del risultato...

Sicuro di aver preso gli appunti correttamente? Da dove viene quell'equazione?
Perché il moto di un proiettile è qualcosa di più semplice, è una parabola...
Poi una cosa che ho notato è che si ha:

$1/\epsilon \frac{\text{d}}{\text{d}t}[1/(1 +\epsilon x(t))] = - \frac{x'(t)}{(1 +\epsilon x(t))^2} $

[gugo82]

"Littlejacob26":Dato il problema
\[x^{\prime \prime}(t) = -\frac{1}{(1+\epsilon x(t))^{2}}\]
\[x(0) = 0, \quad x^{\prime}(0)= 1\]
l'approccio del professore è stato di integrare doppiamente ottenendo
\[x(t)=t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau}\frac{ds}{(1+\epsilon x(s))^{2}}d\tau = t - \int_{0}^{t}\frac{(t-\tau)d\tau}{(1+\epsilon x(\tau))^{2}}\]
Non mi è chiaro come abbia risolto l'integrale rispetto ad $s$. Ho provato per parti, sostituendo, ma senza un $x^{\prime}$ al nominatore non sembra possibile. Inoltre derivando il suo risultato, non sono riuscito a tornare alla funzione iniziale. È effettivamente giusto il risultato?

ps. $\epsilon$ è una costante

"A occhio", per parti con fattore finito (da derivare) la funzione integrale in $tau$ e fattore differenziale (da integrare) $1$.
Ovviamente vanno calcolati gli integrali definiti tra $0$ e $t$.

[Littlejacob26]

In risposta a pilloeffe
Si, sono abbastanza sicuro dell'equazione, in quanto l'ho copiata direttamente dalle dispense del professore. Si tratta di una adimensionalizzazione (spero esista il termine in italiano) dell'equazione:
$$\frac{d^{2}x^{*}}{dt^{*2}} = - \frac{gR^{2}}{(x+R)^{2}}$$
$$ x^{*}(0)=0 \quad \frac{dx^{*}}{dt^{*}}(0) = V$$
con $g$ accelerazione gravitazionale, $R$ raggio della Terra e $V$ velocità iniziale. Riscrivendo $$x= \frac{x^{*}}{V^{2}/g} \quad t = \frac{t^{*}}{V/g}$$ otteniamo l'equazione precedente, dove $$\epsilon = \frac{V^{2}}{gR}$$
Inoltre, l'equazione iniziale si può derivare direttamente dalla legge di gravitazione universale.

Riguardo al commento di gugo82: può darsi, ma in quel caso non staremmo supponendo che $x = \tau$, quindi lineare? Proseguendo scopriamo che questo non è il caso, la soluzione generale ha la seguente forma: $$x(t)= t - \frac{t^{2}}{2} + \epsilon \frac{t^{3}}{3} (1- \frac{1}{4} t) + \mathcal{O}(\epsilon^{2})$$
Ringrazio comunque entrambi per l'aiuto

[gugo82]

"Littlejacob26":Riguardo al commento di gugo82: può darsi, ma in quel caso non staremmo supponendo che $x = \tau$, quindi lineare? Proseguendo scopriamo che questo non è il caso, la soluzione generale ha la seguente forma: $$x(t)= t - \frac{t^{2}}{2} + \epsilon \frac{t^{3}}{3} (1- \frac{1}{4} t) + \mathcal{O}(\epsilon^{2})$$
Ringrazio comunque entrambi per l'aiuto

Credo che prima di rispondere con delle supposizioni, ti convenga leggere attentamente ciò che ti viene scritto e provare a fare i conti.
Vediamo:

"gugo82":[quote="Littlejacob26"]Dato il problema
\[x^{\prime \prime}(t) = -\frac{1}{(1+\epsilon x(t))^{2}}\]
\[x(0) = 0, \quad x^{\prime}(0)= 1\]
l'approccio del professore è stato di integrare doppiamente ottenendo
\[x(t)=t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau}\frac{ds}{(1+\epsilon x(s))^{2}}d\tau = t - \int_{0}^{t}\frac{(t-\tau)d\tau}{(1+\epsilon x(\tau))^{2}}\]
Non mi è chiaro come abbia risolto l'integrale rispetto ad $s$. Ho provato per parti, sostituendo, ma senza un $x^{\prime}$ al nominatore non sembra possibile. Inoltre derivando il suo risultato, non sono riuscito a tornare alla funzione iniziale. È effettivamente giusto il risultato?

ps. $\epsilon$ è una costante

"A occhio", per parti con fattore finito (da derivare) la funzione integrale in $tau$ e fattore differenziale (da integrare) $1$.
Ovviamente vanno calcolati gli integrali definiti tra $0$ e $t$.[/quote]
da cui, seguendo il suggerimento, avresti trovato:
\[
\int_{0}^{t} \underbrace{\int_{0}^{\tau}\frac{\text{d} s}{(1+\epsilon x(s))^{2}}}_{f(\tau)}\cdot \underbrace{1}_{g^\prime (\tau)}\ \text{d} \tau = \Big[ \underbrace{\tau}_{g(\tau)}\ \underbrace{\int_{0}^{\tau}\frac{\text{d} s}{(1+\epsilon x(s))^{2}}}_{f(\tau)}\Big]_0^t - \int_0^t \underbrace{\tau}_{g(\tau)}\ \underbrace{\frac{1}{(1+\epsilon x(\tau ))^{2}}}_{f^\prime (\tau)}\ \text{d} \tau = t\ \int_{0}^{t}\frac{\text{d} \tau}{(1+\epsilon x(\tau ))^{2}} - \int_0^t \frac{\tau}{(1+\epsilon x(\tau ))^{2}}\ \text{d} \tau = \int_0^t \frac{(t - \tau)}{(1+\epsilon x(\tau ))^{2}}\ \text{d} \tau
\]
che sarebbe stato ciò che ti serviva... Se avessi fatto i conti.