[EX] - La formula di interpolazione di Lagrange

[Sk_Anonymous]

Sia \(\displaystyle C[X]_{\le n} \) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale ad \(\displaystyle n \) a coefficienti nel campo \(\displaystyle C \). Fissati \(\displaystyle n+1 \) elementi \(\displaystyle x_{0}, \dots , x_{n} \) di \(\displaystyle C \), si consideri l'applicazione lineare \(\displaystyle \phi : C[X]_{\le n} \to C^{n+1} \) definita da \(\displaystyle P(X) \to {}^{t}(P(x_{0}),\dots ,P(x_{n})) \).

(a) Si mostri che \(\displaystyle \phi \) è un isomorfismo se, e solo se, i punti \(\displaystyle x_{0}, \dots , x_{n} \) sono a due a due distinti;
(b) sia \(\displaystyle \phi \) un isomorfismo e si determinino le controimmagini dei vettori della base canonica di \(\displaystyle C^{n+1} \);
(c) nelle ipotesi del punto precedente, si deduca la formula di interpolazione di Lagrange, ovvero \[\displaystyle \phi(P(X))=\begin{pmatrix}y_{0} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix} \] se e solo se \[\displaystyle P(X)=\sum_{i=0}^{n} \left( y_{i} \prod_{j \ne i} \frac{X - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}\right) \]

In principio ero arrivato ad una soluzione, ma la forma in cui ottenevo il punto (b) era mostruosamente complicata, e non permetteva di passare al punto (c). Poi in qualche modo sono riuscito a concludere; al massimo più avanti posto la soluzione alternativa che avevo trovato.

Buon divertimento!

[Sk_Anonymous]

Hint per approcciare il punto (a):

Matrice di Vandermonde

[dissonance]

Una soluzione un po' cheap.

a) Siccome
\begin{align*}
(\phi P)&= \begin{bmatrix} \phi(1) & \phi(x) & \ldots & \phi(x^n)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix} 1 & x_0 & \ldots & x_0^n \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ 1 & x_n & \ldots & x_n^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix},
\end{align*}
la matrice associata a \(\phi\) rispetto alle basi naturali di \(\mathbb{C}[x]_{\le n}\) e \(\mathbb{C}^{n+1}\) è la matrice di Vandermonde relativa a \(x_0 \ldots x_n\) [cheap] ed è non singolare se e solo se \(x_i \ne x_j,\ i\ne j\) [/cheap].

b) Detto \(e_i=(\delta_{ij})_{j=0\ldots n}\), risulta che \(\phi P=e_i\) se e solo se \(P(x_j)=\delta_{ij}\). I polinomi
\[
P_i(x)=\prod_{i \ne k} \frac{ x-x_i}{x_k-x_j}
\]
hanno tale proprietà.

c) Siccome \(\phi\) è un isomorfismo lineare la \(n+1\)-upla \(P_0 \ldots P_n\) è una base di \(\mathbb{C}[x]_{\le n}\). Assegnati \(y_0 \ldots y_n\in \mathbb{C}\), il polinomio
\[
P(x)=\sum_{i=0}^n y_i P_i(x)
\]
verifica
\[
\phi P=\begin{bmatrix}y_0 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}.\]
Siccome \(\phi\) è un isomorfismo \(P\) è l'unico polinomio con tale proprietà.

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[Sk_Anonymous]

@dissonance: ottimo. In principio io avevo cercato di calcolare l'inversa di una generica matrice di Vandermonde, ma i conti risulta(va)no essere un fottio, anche se le controimmagini sarebbero uscite in notazione non compatta. Alla fine sono pervenuto alla stessa tua soluzione.

[dissonance]

Queste cose si studiano a fondo nel contesto del calcolo numerico. Lì si assegnano punti (in gergo nodi) \(x_0 \ldots x_n\) e ci si chiede: io so che una certa funzione \(f\) verifica \(f(x_i)=y_i\), come la posso approssimare con un polinomio? Si chiama problema dell'interpolazione e questo esercizio è l'approccio alla Lagrange che ci dice:
[list=1][*:2otp1nnt]esiste un unico polinomio \(P\) di grado al più \(n\) che verifica \(P(x_i)=y_i\);[/*:m:2otp1nnt]
[*:2otp1nnt]una rappresentazione esplicita di tale polinomio è
\[
P(x)=\sum_{i=0}^n y_i \prod_{k\ne i} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}.
\][/*:m:2otp1nnt][/list:o:2otp1nnt]
Quindi si può pensare di approssimare la funzione \(f\) con il polinomio \(P\). Cercando di invertire la matrice di Vandermonde tu stai cercando di ottenere una rappresentazione di \(P\) rispetto alla base canonica di \(\mathbb{C}[x]_{\le n}\), e chiaramente ti viene una porcheria perché tale base non è adatta al problema in questione. Per ulteriori informazioni si potrebbe dare un'occhiata al librone Metodi numerici di Bini-Capovani-Menchi dove c'è un grosso capitolo dedicato all'interpolazione, o anche sul libro online di Ghelardoni-Gheri-Marzulli:

http://users.dma.unipi.it/ghelardoni/

capitolo "Interpolazione e approssimazione":

http://users.dma.unipi.it/ghelardoni/li ... azione.pdf

[Sk_Anonymous]

Oh, grazie mille per i riferimenti e gli approfondimenti teorici. Io ho trovato questo esercizio sul libro di algebra lineare del mio professore.