Sulla media superficiale e il laplaciano
Vi propongo un semplice esercizio riguardo le proprietà delle funzioni media volumetrica e media superficiale. L'ho svolto, quindi ho una soluzione.
Al termine dell'esercizio, formulerò una domanda - di cui non conosco la risposta - sul legame di questo argomento con una importante PDE.
Esercizio. Sia $B_R \subset \RR^{n}$ la palla aperta di centro l'origine e raggio $R>0$ e sia data una funzione $f\in C^{2}(B_R, \RR)$. Si definisca la media sulle sfere
\[
\varphi(r) = \frac{1}{\vert \partial B_r \vert} \int_{\partial B_r} f(y) d\sigma_y \qquad \forall r \in (0,R)
\]
dove [tex]\vert \partial B_r \vert = n\omega_nr^{n-1}[/tex] è la misura $(n-1)$-dimensionale della superficie sferica.
1. Verificare che $\varphi$ è di classe $C^2$ su $(0,R)$ e calcolare l'espressione esplicita di $\varphi'(r)$ e $\varphi''(r)$.
2. Utilizzando i risultati ottenuti al punto 1, verificare che $\varphi(r)$ soddisfa l'equazione differenziale del secondo ordine
\[
\varphi''(r)+\frac{n-1}{r}\varphi'(r)=\frac{1}{\vert \partial B_r \vert} \int_{\partial B_r} \Delta f(y) d\sigma_y
\]
3. Calcolare i limiti di
\[
\varphi'(r), \quad \varphi''(r), \quad \frac{\varphi'(r)}{r}
\]
per $r \to 0$.
Domanda. Esiste un collegamento tra questo esercizio e la soluzione fondamentale del laplaciano su [tex]\mathbb R^{n} \setminus \{0\}[/tex]?
A lezione, per trovare la soluzione fondamentale, abbiamo proceduto così: voglio determinare tutte le soluzioni radiali dell'equazione di Laplace, $\Delta u = 0$ in $\mathbb R^n$. Sto cercando, quindi, funzioni della forma
\[
u(x) = v(r), \qquad \text{ con } r=\vert x \vert
\]
Se faccio i conti (in sostanza, applicazione iterata della regola di derivazione della funzione composta) trovo che
\[
\Delta u = 0 \Leftrightarrow v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r) = 0
\]
e, risolvendo l'equazione differenziale ordinaria, trovo proprio la ben nota espressione della soluzione fondamentale per il laplaciano.
Adesso, è evidente che un legame con l'equazione soddisfatta dalla $\varphi$ (cfr. l'esercizio sopra, punto 2) ci deve essere: l'equazione è esattamente la stessa!
Solo che non capisco come articolare il ragionamento... Probabilmente, bisogna usare il fatto che armonica sse PMV e PMS (proprietà della media volumetrica e superficiale) ma non riesco a capire come muovermi.
La domanda che mi (e vi) pongo, in ultima istanza è questa: si riesce, a partire dall'esercizio, a determinare la soluzione fondamentale?
Ringrazio preliminarmente chiunque vorrà intervenire.
Al termine dell'esercizio, formulerò una domanda - di cui non conosco la risposta - sul legame di questo argomento con una importante PDE.
Esercizio. Sia $B_R \subset \RR^{n}$ la palla aperta di centro l'origine e raggio $R>0$ e sia data una funzione $f\in C^{2}(B_R, \RR)$. Si definisca la media sulle sfere
\[
\varphi(r) = \frac{1}{\vert \partial B_r \vert} \int_{\partial B_r} f(y) d\sigma_y \qquad \forall r \in (0,R)
\]
dove [tex]\vert \partial B_r \vert = n\omega_nr^{n-1}[/tex] è la misura $(n-1)$-dimensionale della superficie sferica.
1. Verificare che $\varphi$ è di classe $C^2$ su $(0,R)$ e calcolare l'espressione esplicita di $\varphi'(r)$ e $\varphi''(r)$.
2. Utilizzando i risultati ottenuti al punto 1, verificare che $\varphi(r)$ soddisfa l'equazione differenziale del secondo ordine
\[
\varphi''(r)+\frac{n-1}{r}\varphi'(r)=\frac{1}{\vert \partial B_r \vert} \int_{\partial B_r} \Delta f(y) d\sigma_y
\]
3. Calcolare i limiti di
\[
\varphi'(r), \quad \varphi''(r), \quad \frac{\varphi'(r)}{r}
\]
per $r \to 0$.
Domanda. Esiste un collegamento tra questo esercizio e la soluzione fondamentale del laplaciano su [tex]\mathbb R^{n} \setminus \{0\}[/tex]?
A lezione, per trovare la soluzione fondamentale, abbiamo proceduto così: voglio determinare tutte le soluzioni radiali dell'equazione di Laplace, $\Delta u = 0$ in $\mathbb R^n$. Sto cercando, quindi, funzioni della forma
\[
u(x) = v(r), \qquad \text{ con } r=\vert x \vert
\]
Se faccio i conti (in sostanza, applicazione iterata della regola di derivazione della funzione composta) trovo che
\[
\Delta u = 0 \Leftrightarrow v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r) = 0
\]
e, risolvendo l'equazione differenziale ordinaria, trovo proprio la ben nota espressione della soluzione fondamentale per il laplaciano.
Adesso, è evidente che un legame con l'equazione soddisfatta dalla $\varphi$ (cfr. l'esercizio sopra, punto 2) ci deve essere: l'equazione è esattamente la stessa!
Solo che non capisco come articolare il ragionamento... Probabilmente, bisogna usare il fatto che armonica sse PMV e PMS (proprietà della media volumetrica e superficiale) ma non riesco a capire come muovermi.
La domanda che mi (e vi) pongo, in ultima istanza è questa: si riesce, a partire dall'esercizio, a determinare la soluzione fondamentale?
Ringrazio preliminarmente chiunque vorrà intervenire.
Risposte
Non so se può esserti utile, ma hai provato a dare un'occhiata all'Evans, "Partial Differential Equations"?
Grazie per l'interesse.
Ho dato un'occhiata a un po' di testi (John, Pinchover, Evans, Salsa, Zachmanoglou) ma, a quanto ho visto, tutti ricavano la soluzione fondamentale passando dal primo metodo che ho brevemente illustrato sopra: cercano soluzioni radiali, derivano la funzione composta e risolvono l'ODE del secondo ordine che salta fuori.
Sono abbastanza seccato perché non riesco a capire come si possano incastrare le due teorie... Un legame ci dovrà essere, no? L'equazione differenziale è la stessa!
Ad ogni modo, resta aperto l'esercizio: chi vuole cimentarsi è il benvenuto, non è difficile e - secondo me - è anche carino.
Ho dato un'occhiata a un po' di testi (John, Pinchover, Evans, Salsa, Zachmanoglou) ma, a quanto ho visto, tutti ricavano la soluzione fondamentale passando dal primo metodo che ho brevemente illustrato sopra: cercano soluzioni radiali, derivano la funzione composta e risolvono l'ODE del secondo ordine che salta fuori.
Sono abbastanza seccato perché non riesco a capire come si possano incastrare le due teorie... Un legame ci dovrà essere, no? L'equazione differenziale è la stessa!
Ad ogni modo, resta aperto l'esercizio: chi vuole cimentarsi è il benvenuto, non è difficile e - secondo me - è anche carino.
"Paolo90":
Ho dato un'occhiata a un po' di testi (John, Pinchover, Evans, Salsa, Zachmanoglou) ma, a quanto ho visto, tutti ricavano la soluzione fondamentale passando dal primo metodo che ho brevemente illustrato sopra: cercano soluzioni radiali, derivano la funzione composta e risolvono l'ODE del secondo ordine che salta fuori.
Sono abbastanza seccato perché non riesco a capire come si possano incastrare le due teorie... Un legame ci dovrà essere, no? L'equazione differenziale è la stessa!
Secondo me, il problema è che la PMS caratterizza tutte le funzioni armoniche in \(\mathbb{R}^N\setminus \{0\}\); quindi non potrai mai ricavare la sola soluzione fondamentale usando tale proprietà.
Inoltre, nota che la soluzione fondamentale \(\Phi (x)\) soddisfa un'equazione di Poisson in tutto \(\mathbb{R}^N\) in un senso molto generalizzato, i.e. l'equazione:
\[
-\Delta \Phi= \delta \qquad \text{, in } \mathbb{R}^N
\]
ove \(\delta\) è l'usuale delta di Dirac (che è una misura!).
Grazie Gugo per il tuo intervento.
Condivido le tue osservazioni: hai ragione, non avevo pensato al fatto che PMS caratterizza tutte le funzioni armoniche...
In definitiva, quindi, è "solo" una coincidenza il fatto che le due equazioni differenziali ordinarie che si ottengono siano in realtà la stessa. Mah... it sounds strange.
Condivido le tue osservazioni: hai ragione, non avevo pensato al fatto che PMS caratterizza tutte le funzioni armoniche...
In definitiva, quindi, è "solo" una coincidenza il fatto che le due equazioni differenziali ordinarie che si ottengono siano in realtà la stessa. Mah... it sounds strange.
Non ho una risposta precisa, ma elenco un paio di strumenti che si possono usare per interpretare in modo più trasparente i risultati in questione.
1 Sicuramente non nuoce ragionare sulla decomposizione del Laplaciano in parte radiale e parte angolare. Mi riferisco a:
\[\text{In } \mathbb{R}^3\, , \quad \Delta = \underbrace{\left( \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\text{parte radiale}} +
\frac{1}{r^2}
\underbrace{
\left(
\frac{1}{\sin \theta}
\frac{\partial}{\partial \theta}
\left(
\sin \theta \frac{ \partial }{\partial \theta}
\right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta}
\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}
\right)
}_{\Delta_{\mathbf{S}^2}}
, \]
con questa convenzione per le coordinate polari:
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/3D_Spherical.svg[/img]
\(\Delta_{\mathbb{S}^2}\) è detto Laplaciano sferico o operatore di Laplace-Beltrami. Questa decomposizione origina dall'analoga decomposizione angolare di gradiente e divergenza:
\begin{align*}
\nabla = \frac{\partial }{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\nabla_{\mathbf{S}^2}\\
\text{div}(X)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r X_r)+\frac{1}{r}\text{div}_{\mathbf{S}^2}
\end{align*}
(per le espressioni esplicite di gradiente e divergenza angolari vedi la pagina di Wikipedia, da cui è tratta pure l'immagine). Infatti, la parte radiale del Laplaciano è la divergenza radiale del gradiente radiale e la parte angolare del Laplaciano è la divergenza angolare del gradiente angolare.
Naturalmente valgono fatti analoghi per ogni \(n\ge 2\), solo che in dimensione 2 e 3 abbiamo delle formule esplicite (e poi c'è la pagina di Wikipedia a cui posso fare riferimento, invece di stare a riscrivere tutto qui!
)
2. (secondario) Potrebbe tornare utile osservare che, se \(f \in L^2(\mathbb{R}^n)\), la mappa
\[f \mapsto \varphi=\frac{1}{\lvert \partial B_r\rvert}\int_{\partial B_r} f\, dS\]
è un proiettore ortogonale. \(\varphi\) è la parte radiale della funzione \(f\). Questa decomposizione è analoga a quella che si fa in dimensione 1:
\[ f= \underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{parte pari}}+ \underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{parte dispari}}.\]
Il punto 2. dell'esercizio proposto dice quindi una cosa molto semplice:
\[\text{il Laplaciano della parte radiale è uguale alla parte radiale del Laplaciano.}\]
Questa mi sembra una interpretazione interessante e forse ti permetterà di fare luce sul processo di costruzione della soluzione fondamentale.
1 Sicuramente non nuoce ragionare sulla decomposizione del Laplaciano in parte radiale e parte angolare. Mi riferisco a:
\[\text{In } \mathbb{R}^3\, , \quad \Delta = \underbrace{\left( \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\text{parte radiale}} +
\frac{1}{r^2}
\underbrace{
\left(
\frac{1}{\sin \theta}
\frac{\partial}{\partial \theta}
\left(
\sin \theta \frac{ \partial }{\partial \theta}
\right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta}
\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}
\right)
}_{\Delta_{\mathbf{S}^2}}
, \]
con questa convenzione per le coordinate polari:
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/3D_Spherical.svg[/img]
\(\Delta_{\mathbb{S}^2}\) è detto Laplaciano sferico o operatore di Laplace-Beltrami. Questa decomposizione origina dall'analoga decomposizione angolare di gradiente e divergenza:
\begin{align*}
\nabla = \frac{\partial }{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\nabla_{\mathbf{S}^2}\\
\text{div}(X)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r X_r)+\frac{1}{r}\text{div}_{\mathbf{S}^2}
\end{align*}
(per le espressioni esplicite di gradiente e divergenza angolari vedi la pagina di Wikipedia, da cui è tratta pure l'immagine). Infatti, la parte radiale del Laplaciano è la divergenza radiale del gradiente radiale e la parte angolare del Laplaciano è la divergenza angolare del gradiente angolare.
Naturalmente valgono fatti analoghi per ogni \(n\ge 2\), solo che in dimensione 2 e 3 abbiamo delle formule esplicite (e poi c'è la pagina di Wikipedia a cui posso fare riferimento, invece di stare a riscrivere tutto qui!
)2. (secondario) Potrebbe tornare utile osservare che, se \(f \in L^2(\mathbb{R}^n)\), la mappa
\[f \mapsto \varphi=\frac{1}{\lvert \partial B_r\rvert}\int_{\partial B_r} f\, dS\]
è un proiettore ortogonale. \(\varphi\) è la parte radiale della funzione \(f\). Questa decomposizione è analoga a quella che si fa in dimensione 1:
\[ f= \underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{parte pari}}+ \underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{parte dispari}}.\]
Il punto 2. dell'esercizio proposto dice quindi una cosa molto semplice:
\[\text{il Laplaciano della parte radiale è uguale alla parte radiale del Laplaciano.}\]
Questa mi sembra una interpretazione interessante e forse ti permetterà di fare luce sul processo di costruzione della soluzione fondamentale.
@dissonance: Ma anche senza scomodare quelle zozzerie si può vedere che è abbastanza naturale andare a cercare soluzioni di $-\Delta u =0$ tra le funzioni radiali.
Infatti se \(u:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è tale che $-\Delta u=0$ e se \(\mathcal{R}\) è una roto-traslazione di \(\mathbb{R}^N\), cosicché \(\mathcal{R}x = x_0+ Rx\) con \(x_0\in \mathbb{R}^N\) e \(R\in \mathbb{SL}(N)\), allora posto \(v(x):=u(\mathcal{R}x)\) si ha:
\[
-\Delta_x v(x) =-\Delta_y u(y)=0\; ;
\]
pertanto il laplaciano è invariante per roto-traslazioni... Ciò suggerisce che è sensato andarsi a cercare una soluzione invariante per rotazioni, cioè una soluzione radiale.
Infatti se \(u:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è tale che $-\Delta u=0$ e se \(\mathcal{R}\) è una roto-traslazione di \(\mathbb{R}^N\), cosicché \(\mathcal{R}x = x_0+ Rx\) con \(x_0\in \mathbb{R}^N\) e \(R\in \mathbb{SL}(N)\), allora posto \(v(x):=u(\mathcal{R}x)\) si ha:
\[
-\Delta_x v(x) =-\Delta_y u(y)=0\; ;
\]
pertanto il laplaciano è invariante per roto-traslazioni... Ciò suggerisce che è sensato andarsi a cercare una soluzione invariante per rotazioni, cioè una soluzione radiale.
Questo che scrivi è chiaro, ovviamente, e immagino che sia ben chiaro anche a Paolo. Le zozzerie servono a convincerci (me e Paolo) che:
[list=1][*:1tgiprdt] il Laplaciano si può scomporre in una parte radiale e in una parte angolare;[/*:m:1tgiprdt]
[*:1tgiprdt]ogni funzione si può proiettare sullo spazio delle funzioni radiali, prendendo la media sulle superfici sferiche.[/*:m:1tgiprdt][/list:o:1tgiprdt]Questo illustra in modo più chiaro la formula 2. del primo post di Paolo: in sostanza stiamo dicendo che la parte radiale del Laplaciano commuta con il proiettore sullo spazio delle funzioni radiali. O almeno, io la vedrei così.
Che c'entra la soluzione fondamentale del Laplaciano? Non molto, in verità, visto che come giustamente noti tu ci si può arrivare in modo molto più conciso ignorando tranquillamente queste faccende. Il che risponde anche alla domanda di Paolo "com'è che sui libri non si fa menzione della relazione tra le due cose?"
[list=1][*:1tgiprdt] il Laplaciano si può scomporre in una parte radiale e in una parte angolare;[/*:m:1tgiprdt]
[*:1tgiprdt]ogni funzione si può proiettare sullo spazio delle funzioni radiali, prendendo la media sulle superfici sferiche.[/*:m:1tgiprdt][/list:o:1tgiprdt]Questo illustra in modo più chiaro la formula 2. del primo post di Paolo: in sostanza stiamo dicendo che la parte radiale del Laplaciano commuta con il proiettore sullo spazio delle funzioni radiali. O almeno, io la vedrei così.
Che c'entra la soluzione fondamentale del Laplaciano? Non molto, in verità, visto che come giustamente noti tu ci si può arrivare in modo molto più conciso ignorando tranquillamente queste faccende. Il che risponde anche alla domanda di Paolo "com'è che sui libri non si fa menzione della relazione tra le due cose?"
Vi ringrazio per i vostri contributi molto interessanti.
Mi è chiaro quello che dici, Gugo, sulll'invarianza del laplaciano per roto-traslazioni.
Invece non avevo minimamente pensato al fatto che la $phi$ è la parte radiale della $f$... Bello, un proiettore ortogonale! E chi ci pensava più
Grazie a entrambi!
Mi è chiaro quello che dici, Gugo, sulll'invarianza del laplaciano per roto-traslazioni.
Invece non avevo minimamente pensato al fatto che la $phi$ è la parte radiale della $f$... Bello, un proiettore ortogonale! E chi ci pensava più
Grazie a entrambi!
Oggi, mentre pranzavo ( 
), riflettevo ancora su questo problema e su queste tematiche e mi è venuta in mente una domanda:
... ed è lineare per la linearità dell'integrale: quindi è un'applicazione lineare tra $L^2(RR^N)$ e $C^2(0,R)$.
Domanda: si può calcolare la norma di tale mappa tra spazi normati? E' sensata come domanda? Che norma conviene mettere su $C^2$?
Non sono molto pratico con le norme degli operatori, però mi è venuto in mente che questo potrebbe essere un bell'esercizio per prenderci confidenza... Che dite? Grazie ancora!
), riflettevo ancora su questo problema e su queste tematiche e mi è venuta in mente una domanda: "dissonance":
Potrebbe tornare utile osservare che, se \(f \in L^2(\mathbb{R}^n)\), la mappa
\[f \mapsto \varphi=\frac{1}{\lvert \partial B_r\rvert}\int_{\partial B_r} f\, dS\]
è un proiettore ortogonale
... ed è lineare per la linearità dell'integrale: quindi è un'applicazione lineare tra $L^2(RR^N)$ e $C^2(0,R)$.
Domanda: si può calcolare la norma di tale mappa tra spazi normati? E' sensata come domanda? Che norma conviene mettere su $C^2$?
Non sono molto pratico con le norme degli operatori, però mi è venuto in mente che questo potrebbe essere un bell'esercizio per prenderci confidenza... Che dite? Grazie ancora!
Ciao Paolo! Ti rispondo al volo perché sono alla scuola SMI di Cortona. Se consideri quella come una mappa di \(L^2\) in sé allora, essendo un proiettore ortogonale, essa ha norma 1. Come mappa di \(L^2\) in \(C^2\) invece non è ben definita, perché richiede l'esistenza del Laplaciano per poter derivare due volte sotto il segno di integrale. Ma mi pare che non sia ben definita neanche come mappa \(L^2\to C^0\).
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