Successione di \(C^1\) con estratta convergente in \(L^1\)
Propongo un esercizio di un docente della S.I.S.S.A.; lo stesso autore del seguente altro esercizio, di natura indipendente!
Prima della traccia, metto in spoiler le seguenti nozioni: norma, successione di Cauchy in norma e procedura diagonale; ovviamente chi le conosce può saltare la lettura!
Esercizio. Indicato con \(I=[0;1]\), sia \(\left\{u_n\in C^1(I):|u_n(0)|+\displaystyle{\int_I}\left|\dot u_n(t)\right|dt\leq1\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) allora esiste una successione estratta \(\{u_{n_k}\in C^1(I)\}_{k\in\mathbb{N}}\) convergente in norma \(\|\cdot\|_1\) a una funzione \(u\) di \(L^1(I)\).
Penso che bastino le conoscenze dei corsi di analisi matematica 1 e quanto ho messo in spoiler!
Prima della traccia, metto in spoiler le seguenti nozioni: norma, successione di Cauchy in norma e procedura diagonale; ovviamente chi le conosce può saltare la lettura!
Esercizio. Indicato con \(I=[0;1]\), sia \(\left\{u_n\in C^1(I):|u_n(0)|+\displaystyle{\int_I}\left|\dot u_n(t)\right|dt\leq1\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) allora esiste una successione estratta \(\{u_{n_k}\in C^1(I)\}_{k\in\mathbb{N}}\) convergente in norma \(\|\cdot\|_1\) a una funzione \(u\) di \(L^1(I)\).
Penso che bastino le conoscenze dei corsi di analisi matematica 1 e quanto ho messo in spoiler!
Risposte
Lo scrivo pubblicamente: ribadisco che bastano conoscenze di analisi 1 e quanto ho richiamato, ma con ciò non voglio dire che l'esercizio sia banale! Mi stuzzica...
Nessuno? 
Se qualcuno volesse sciogliersi i muscoli, può iniziare col dimostrare che:
\[
\|\cdot\|:f\in C^1[0;1]\to|f(0)|+\int_0^1|f'(x)|dx\in\mathbb{R}_+
\]
è una norma su \(C^1[0;1]\)!
Lascio all'audace prode che vuol risolvere la questione,
come tradurre in aiuto questa informazione.
Purtroppo gli endecasillabi non mi riescono
Se qualcuno volesse sciogliersi i muscoli, può iniziare col dimostrare che:
\[
\|\cdot\|:f\in C^1[0;1]\to|f(0)|+\int_0^1|f'(x)|dx\in\mathbb{R}_+
\]
è una norma su \(C^1[0;1]\)!
Lascio all'audace prode che vuol risolvere la questione,
come tradurre in aiuto questa informazione.
Purtroppo gli endecasillabi non mi riescono
Alura, direi che, se $L_1$ è completo, e chiamatao $||*||_B$ la nuova norma, dimostrare per esempio che $||*||_B >=K||* ||_1$ per una qualche costante positiva dovrebbe essere sufficiente.
Questo infatti direbbe che la successione sta in un insieme limitato di $L_1$. Quindi sta dentro una palla chiusa abbastanza grande, che essendo un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è a sua volta completo.
Può essere che sia questa la via?
Questo infatti direbbe che la successione sta in un insieme limitato di $L_1$. Quindi sta dentro una palla chiusa abbastanza grande, che essendo un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è a sua volta completo.
Può essere che sia questa la via?
In effetti non sono sicuro che quello basterebbe per dire che quella successione sta in un insieme compatto...
Se dimostrassimo la disuguaglianza la successione starebbe in un insieme limitato e chiuso di L^1... ma basta per dire che è compatto? Quanta ignoranza...
Se dimostrassimo la disuguaglianza la successione starebbe in un insieme limitato e chiuso di L^1... ma basta per dire che è compatto? Quanta ignoranza...
"Chiuso e limitato" in \(L^1\) certamente non implica "compatto" e neanche "debolmente (sequenzialmente) compatto" visto che \(L^1\) non è uno spazio riflessivo. (Ad esempio la successione limitata \(\chi_{[n, n+1]}\in L^1([0, +\infty))\) non ha estratte debolmente convergenti).
Ok danke! 
@Thomas Confermo quanto ti ha scritto dissonance, ma vedi che qualcosa puoi ricavare da quanto hai abbozzato.
mmm... ma dissonance ha usato i termini topologia debole, spazi rilfessivi... insomma a me piace la matematica ma il Brezis nella mia vita l'ho aperto solo qualche volta 
... non dicevi che bastavano conoscenze elementari?
L'unica idea che mi viene è quella di fare un griglia su [0,1]. Visto che dalle ipotesi si può dedurre che per ogni punto $x$ della griglia la successione $u_n(x)$ è limitata (almeno mi sembra) allora possiamo cercare di trovare sottosuccessioni che convergono su ogni punto della griglia.
Forse poi mandando la distanza della griglia a zero si ottiene una successione che è di Cauchy in $L_1$ e usando la completezza si conclude.
ma non saprei bene formalizzare questa vaga idea... sono molto lontano?
... non dicevi che bastavano conoscenze elementari?L'unica idea che mi viene è quella di fare un griglia su [0,1]. Visto che dalle ipotesi si può dedurre che per ogni punto $x$ della griglia la successione $u_n(x)$ è limitata (almeno mi sembra) allora possiamo cercare di trovare sottosuccessioni che convergono su ogni punto della griglia.
Forse poi mandando la distanza della griglia a zero si ottiene una successione che è di Cauchy in $L_1$ e usando la completezza si conclude.
ma non saprei bene formalizzare questa vaga idea... sono molto lontano?
SI, questa in fondo è l'idea dietro Ascoli-Arzelà, che è un teorema molto simile a quello in esame. Precisamente, una versione di Ascoli-Arzelà è la seguente.
Teorema.
Sia \(u_n\in C^1\big([0, 1]\big)\) una successione tale che
[list=1][*:3lk4bi7g]\(\lvert u_n(0)\rvert \le C_0\) per ogni \(n\); [/*:m:3lk4bi7g]
[*:3lk4bi7g]\(\lvert u_n'(x)\rvert\le C_1\) per ogni \(n\) e per ogni \(x \in [0, 1]\).[/*:m:3lk4bi7g][/list:o:3lk4bi7g]
Allora la successione \((u_n)\) ammette una estratta uniformemente convergente.
dimostrazione (sketch):
Preso un sottoinsieme \(\{x_p\ :\ p=1, 2, 3, \ldots\}\) denso in \([0, 1]\), con procedimento diagonale si costruisce una estratta \((u_{k(n)})\) tale che \(u_{k(n)}(x_p)\) è convergente per ogni \(p\). Questa successione risulta convergente su tutto \([0, 1]\) perché se \(x\in [0, 1]\) allora
\[\lvert u_{k(n)}(x)-u_{k(m)}(x)\rvert \le \lvert u_{k(n)}(x)-u_{k(n)}(x_p)\rvert + \lvert u_{k(n)}(x_p)-u_{k(m)}(x_p)\rvert + \lvert u_{k(m)}(x_p)-u_{k(m)}(x)\rvert, \]
quindi, scegliendo \(x_p\) sufficientemente prossimo ad \(x\) e applicando tre volte il teorema del valor medio si vede che \(u_{k(n)}(x)\) è di Cauchy.
Infine, detto \(u\) il limite puntuale della \(u_{k(n)}\), mandando al limite la condizione di Lipschitz uniforme per \(u_{k(n)}\) si verifica che \(u\) è una funzione Lipschitziana e che \(u_{k(n)}\) converge ad essa uniformemente in \([0, 1]\). \(\square\)
L'esercizio in questione sostituisce l'ipotesi 2) con una sua variante \(L^1\). Si tratta di capire come adattare la dimostrazione di Ascoli-Arzelà al caso in esame.
Teorema.
Sia \(u_n\in C^1\big([0, 1]\big)\) una successione tale che
[list=1][*:3lk4bi7g]\(\lvert u_n(0)\rvert \le C_0\) per ogni \(n\); [/*:m:3lk4bi7g]
[*:3lk4bi7g]\(\lvert u_n'(x)\rvert\le C_1\) per ogni \(n\) e per ogni \(x \in [0, 1]\).[/*:m:3lk4bi7g][/list:o:3lk4bi7g]
Allora la successione \((u_n)\) ammette una estratta uniformemente convergente.
dimostrazione (sketch):
Preso un sottoinsieme \(\{x_p\ :\ p=1, 2, 3, \ldots\}\) denso in \([0, 1]\), con procedimento diagonale si costruisce una estratta \((u_{k(n)})\) tale che \(u_{k(n)}(x_p)\) è convergente per ogni \(p\). Questa successione risulta convergente su tutto \([0, 1]\) perché se \(x\in [0, 1]\) allora
\[\lvert u_{k(n)}(x)-u_{k(m)}(x)\rvert \le \lvert u_{k(n)}(x)-u_{k(n)}(x_p)\rvert + \lvert u_{k(n)}(x_p)-u_{k(m)}(x_p)\rvert + \lvert u_{k(m)}(x_p)-u_{k(m)}(x)\rvert, \]
quindi, scegliendo \(x_p\) sufficientemente prossimo ad \(x\) e applicando tre volte il teorema del valor medio si vede che \(u_{k(n)}(x)\) è di Cauchy.
Infine, detto \(u\) il limite puntuale della \(u_{k(n)}\), mandando al limite la condizione di Lipschitz uniforme per \(u_{k(n)}\) si verifica che \(u\) è una funzione Lipschitziana e che \(u_{k(n)}\) converge ad essa uniformemente in \([0, 1]\). \(\square\)
L'esercizio in questione sostituisce l'ipotesi 2) con una sua variante \(L^1\). Si tratta di capire come adattare la dimostrazione di Ascoli-Arzelà al caso in esame.
@Thomas Mi spiace che tu non abbia aperto il Brezis per studiarlo, anche se io preferisco il Yosida, ma sono ulteriormente dispiaciuto del fatto che ho dimenticato una [size=150]i[/size] nel precedente post: mi riferivo esclusivamente a quanto hai scritto tu! 
@dissonance Arguto come al solito!
@dissonance Arguto come al solito!
@Thomas: Comunque qua non è questione di Brezis: in uno spazio infinito dimensionale "compatto" non è equivalente a "chiuso e limitato" e questa è una cosa che "un matematico dovrebbe sapere anche dormendo" (*)(per citare la prof. Giuliana Palmieri). Io ho voluto strafare sottolineando che in \(L^1\) non è neanche vero che "debolmente (sequenzialmente) compatto" equivale a "debolmente chiuso e limitato", ma è stata una esagerazione mia, avrei dovuto risparmiarmela.
In tutti i modi propongo una soluzione "industriale" del problema, basata su una generalizzazione \(L^1\) del teorema di Ascoli-Arzelà. Non credo sia la soluzione pensata dall'estensore dell'esercizio.
Con questo approccio l'esercizio è un corollario del teorema 2.21 di Adams che a sua volta è un corollario del teorema di Ascoli-Arzelà. La dimostrazione del teorema 2.21 fa uso della tecnica di regolarizzazione mediante convoluzione, trasportando il problema della compattezza in \(L^p\) sul problema della compattezza in spazi di funzioni continue. Per dare una dimostrazione diretta dell'enunciato proposto dall'esercizio bisognerebbe trovare il modo di saltare questo passaggio e di dimostrare direttamente la proprietà di compattezza richiesta in \(L^1\).
_______________
(*) P.S.: Con questa frase non intendo offendere: lo so che tu non sei un matematico! Rileggendo m'è venuto il dubbio che potesse suonare come un rimprovero, ma non è assolutamente mia intenzione.
In tutti i modi propongo una soluzione "industriale" del problema, basata su una generalizzazione \(L^1\) del teorema di Ascoli-Arzelà. Non credo sia la soluzione pensata dall'estensore dell'esercizio.
Con questo approccio l'esercizio è un corollario del teorema 2.21 di Adams che a sua volta è un corollario del teorema di Ascoli-Arzelà. La dimostrazione del teorema 2.21 fa uso della tecnica di regolarizzazione mediante convoluzione, trasportando il problema della compattezza in \(L^p\) sul problema della compattezza in spazi di funzioni continue. Per dare una dimostrazione diretta dell'enunciato proposto dall'esercizio bisognerebbe trovare il modo di saltare questo passaggio e di dimostrare direttamente la proprietà di compattezza richiesta in \(L^1\).
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(*) P.S.: Con questa frase non intendo offendere: lo so che tu non sei un matematico! Rileggendo m'è venuto il dubbio che potesse suonare come un rimprovero, ma non è assolutamente mia intenzione.
Don't worry dissonance certo che non me l'ero presa... del resto un tempo lo sapevo anche io che chiuso e limitato => compatto funziona in R^n ma in spazi metrici ci vuole completezza e totale limitatezza... semplicemente dopo vari anni me l'ero scordato è per questo che frequento questo forum per non fare cadere troppo nel dimenticatoio certe nozioni... ...
peraltro grazie a questa discussione ho anche ripassato di sfuggita la differenza tra topologia debole e debole* ......
In ogni caso, purtroppo il tempo che ho da dedicare al problema con la Domenica si è molto ridotto. Osservo solo che nella parte dei tuoi calcoli in cui mostri la limitatezza in $L_1$ hai dimostrato anche che vale quel che dicevo all'inizio con K=1 e quindi possiamo provare ad usare questo fatto per cercare una dimostrazione elementare.
Questo fatto implica che se abbiamo una successione di Cauchy secondo la norma $B$, questa sarà di Cauchy anche secondo la norma $L_1$ e quindi estrarre una sotto-successione di Cauchy secondo $B$ è sufficiente per risolvere il problema.
Chissà magari dimostrare che la famosa successione che stavamo costruendo (quella che hai riconosciuto essere utile nel teorema di Arezelà) è di Cauchy secondo $B$ è più evidente....
...peraltro grazie a questa discussione ho anche ripassato di sfuggita la differenza tra topologia debole e debole*
......In ogni caso, purtroppo il tempo che ho da dedicare al problema con la Domenica si è molto ridotto. Osservo solo che nella parte dei tuoi calcoli in cui mostri la limitatezza in $L_1$ hai dimostrato anche che vale quel che dicevo all'inizio con K=1 e quindi possiamo provare ad usare questo fatto per cercare una dimostrazione elementare.
Questo fatto implica che se abbiamo una successione di Cauchy secondo la norma $B$, questa sarà di Cauchy anche secondo la norma $L_1$ e quindi estrarre una sotto-successione di Cauchy secondo $B$ è sufficiente per risolvere il problema.
Chissà magari dimostrare che la famosa successione che stavamo costruendo (quella che hai riconosciuto essere utile nel teorema di Arezelà) è di Cauchy secondo $B$ è più evidente....
Ciao gente è' da un po' che volevo postare questo (forse) progresso ma non ne ho mai avuto il tempo.
Sia $||*||_B$ la nuova norma, allora:
Lemma: sia data la successione di punti $u_0=0,u_1,...,u_n=1$ equispaziati con distanza $\delta$ e sia data $f$ regolare come nelle ipotesi t.c. $f(u_i)=0$ per $i=1,...n$. Allora vale che:
$||f||_{L^1} <= \delta/2 ||f||_B$.
Dimo: sia $M_i$ il massimo modulo nell'intervallo $i$_esimo, $i=1,n-1$ e sia $||*||_{B,i}$ la norma $B$ ristretta all'intervallo $i$-esimo (intendo l'integrale della norma della derivata). Allora confrontando le due:
$||f||_B=\sum_i ||f||_{B,i}>=2\sum_i M_i$
e
$||f||_{L^1}<=\sum_i M_i*\delta$
si ottiene il risultato voluto.
Forse è un risultato utile per costruire l'agognata successione di Cauchy, se corretto...
Sia $||*||_B$ la nuova norma, allora:
Lemma: sia data la successione di punti $u_0=0,u_1,...,u_n=1$ equispaziati con distanza $\delta$ e sia data $f$ regolare come nelle ipotesi t.c. $f(u_i)=0$ per $i=1,...n$. Allora vale che:
$||f||_{L^1} <= \delta/2 ||f||_B$.
Dimo: sia $M_i$ il massimo modulo nell'intervallo $i$_esimo, $i=1,n-1$ e sia $||*||_{B,i}$ la norma $B$ ristretta all'intervallo $i$-esimo (intendo l'integrale della norma della derivata). Allora confrontando le due:
$||f||_B=\sum_i ||f||_{B,i}>=2\sum_i M_i$
e
$||f||_{L^1}<=\sum_i M_i*\delta$
si ottiene il risultato voluto.
Forse è un risultato utile per costruire l'agognata successione di Cauchy, se corretto...
Mi sembra corretto, ma non vedo come sfruttarlo!
Aiutino...
Aiutino...
Ciao,
ti spiego perchè ero contento del lemmino... Il mio piano era combinare la costruzione che avevo impostato all'inizio con il lemma. Vorrei spiegarti il mio plan, prima di bollarlo come "da qui non si arriva a nulla".
A grandi linee:
1- fisso una griglia di punti distanziati $\delta$ chiamiamoli $x_i$.
2- visto che le successioni $f_n(x_i)$ sono limitate posso estrarre una sottosuccessione che converge in un punto $x_i$.
3- applicando un procedimento diagonale posso trovare sottosuccessioni che convergono puntualmente in ogni punto della griglia.
a questo punto che sta facendo in norma $L_1$ questa sottosuccessione? Se vado ad $n$ abbastanza grandi la funzione differenza $|f_i-f_j|$ dista molto poco da zero sui punti della griglia per $i,j>N$. Inoltre la funzione differenza è limitata in norma $B$ essendo differenza di funzioni limitate in norma $B$. Queste ipotesi sono simili a quelle che ho messo nel lemma dove si considera una funzione che si annulla sulla griglia e limitata in norma $B$.
Il lemmino quindi ci induce a pensare che la funzione differenza sia anche lei piccola in norma $L_1$ grazie al $\delta$ che compare nella stima...
Pensi che non si vada molto in là con questa linea guida?
ciauz
ps: per quanto riguarda la tua domanda, direi una sottosuccessione convergente se gli intervalli sono limitati...
ti spiego perchè ero contento del lemmino... Il mio piano era combinare la costruzione che avevo impostato all'inizio con il lemma. Vorrei spiegarti il mio plan, prima di bollarlo come "da qui non si arriva a nulla".
A grandi linee:
1- fisso una griglia di punti distanziati $\delta$ chiamiamoli $x_i$.
2- visto che le successioni $f_n(x_i)$ sono limitate posso estrarre una sottosuccessione che converge in un punto $x_i$.
3- applicando un procedimento diagonale posso trovare sottosuccessioni che convergono puntualmente in ogni punto della griglia.
a questo punto che sta facendo in norma $L_1$ questa sottosuccessione? Se vado ad $n$ abbastanza grandi la funzione differenza $|f_i-f_j|$ dista molto poco da zero sui punti della griglia per $i,j>N$. Inoltre la funzione differenza è limitata in norma $B$ essendo differenza di funzioni limitate in norma $B$. Queste ipotesi sono simili a quelle che ho messo nel lemma dove si considera una funzione che si annulla sulla griglia e limitata in norma $B$.
Il lemmino quindi ci induce a pensare che la funzione differenza sia anche lei piccola in norma $L_1$ grazie al $\delta$ che compare nella stima...
Pensi che non si vada molto in là con questa linea guida?
ciauz
ps: per quanto riguarda la tua domanda, direi una sottosuccessione convergente se gli intervalli sono limitati...
Cia0, pensai anch'io a una griglia e giunsi ad applicare la procedura diagonale; bella idea, ma bisogna vedere come applicarla.
P.S.: Rileggi il mio aiutino!
P.S.: Rileggi il mio aiutino!
mmm... allora non insisto sull'idea precedente per ora 
...
riletto l'aiutino... forse si deve considerare una sottosuccessione che converge puntualmente sui razionali?
...riletto l'aiutino... forse si deve considerare una sottosuccessione che converge puntualmente sui razionali?
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