Integrali della fisica

[baldo891]

Spesso aprendo dei libri di fisica avanzati, vengono presentate delle formule che involvono funzioni speciali e calcoli di integrali molto complessi,senza mai essere derivati; perciò apro queto topic per vedere se qualche bravo matematico è in grado di risolvere i seguenti problemi:

Questo integrale salta fuori molto spesso in fisica (teoria del corpo nero e in stato solido) , tuttavia non ho mai trovato in nessun libro come si risolve;
$\int_{0}^{\infty}x^3/(e^x-1) dx=\pi^4/15$

Nella teoria dello spettro della radiazione di sincrotrone salta fuori il seguente integrale $F(x)=x\int_{x}^{\infty}K_{5/3}(y) dy$ (dove K è una funzione di bessel modificata di ordine 5/3
Dimostrare che quando x>>1 vale la seguente espressione asintotica $F(x)=(\pi/2)^{1/2} e^{-x}x^{1/2}$
mentre se x<<1 $F(x)=4\pi/((3)^{1/2}\Gamma(1/3)) (x/2)^{1/3}$

[robbstark1]

Il primo integrale credo di averlo già visto svolto in un appendice del Reif di Fisica Statistica, non ricordo se allo stesso modo in cui suggerirò ora.
Metto in spoiler così non guasto la festa a chi ci vuole pensare:

Moltiplico numeratore e denominatore dell'integrando per $e^{-x}$, ottenendo:
$(x^3 e^{-x})/(1-e^{-x})$
Per $x>0$, $e^{-x}<1$, quindi ponendo $e^{-x}=t$ mi riconduco a una serie geometrica:
$1/(1-e^{-x}) = 1/(1-t) = sum_{n=0}^{+infty} t^n = sum_{n=0}^{+infty} e^{-nx}$
Sostituendo questo nell'integrale e scambiando la serie con l'integrale (andrebbe dimostrato che è lecito):
$I= sum_{n=0}^{+infty} int_{0}^{+infty} x^3 e^{-(n+1)x} dx$
Con la sostituzione $y=(n+1)x$:
$I=sum_{n=0}^{+infty} 1/((n+1)^4) int_{0}^{+infty} y^3 e^{-y} dy= 3! sum_{n=1}^{+infty} 1/(n^4) = 6 * (pi^4)/(90)$
Negli ultimi due passaggi ho usato il fatto che sia l'integrale che la serie che si ottengono sono a loro volta noti. Non è difficile comunque ricavarli a sua volta, in particolare l'integrale.

[baldo891]

Bello ... bravo, l'integrale è banale mentre la serie non saprei proprio come calcolarla.... forse bisogna usare il metodo dei residui

[robbstark1]

Allora, per l'integrale immagino avrai fatto per parti ripetutamente, comunque, per induzione puoi provare che se al posto del $3$ metti una $n$ ottieni $n!$.

Per la serie sicuramente esistono vari metodi, quello che conosco io è partendo dallo sviluppo in serie di Fourier di una certa funzione e poi applicando l'identità di Parseval. Ora il punto è scegliere la funzione giusta in partenza, in modo che nell'identità di Parseval ti compaia quella serie, con al più qualche costante moltiplicativa. Non mi ricordo mai quale sia, ma per tentativi si trova facilmente. Credo sia una tra $y=x^2$ o $y=x$ ovviamente definite tra $-pi$ e $pi$ e poi estese periodicamente.

[baldo891]

e la seconda domanda.. upp