Un'equazione integrale
Problema (Concorso di ammissione SNS, IV anno) Sia $a \in \mathbb R$ e $f: [0,1] \to \mathbb R$ una funzione continua. Risolvere l'equazione integrale
\[
u(t) = f(t) + a \int_0^t u(s) ds, \qquad t \ge 0
\]
trovando l'espressione esplicita della soluzione.
Grazie in anticipo.
\[
u(t) = f(t) + a \int_0^t u(s) ds, \qquad t \ge 0
\]
trovando l'espressione esplicita della soluzione.
Grazie in anticipo.

Risposte
Ponendo
\(\displaystyle g(t)=\int_0^t u(s)ds\)
L'erquazione integrale diventa:
\( \displaystyle g'(t)=f(t)+ag(t)\) con \( g(0)=0\)
daq cui:
\( \displaystyle g'(t)e^{-at}-ae^{-at}g(t)=f(t)e^{-at}\)
\( \displaystyle \frac{d}{dt}\left( g(t)e^{-at}\right)=f(t)e^{-at}\)
integrando:
\( \displaystyle g(t)e^{-at}=\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)
\( \displaystyle g(t)= e^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)
derivando:
\( \displaystyle u(t)=g'(t)=ae^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds +f(t)\)
\(\displaystyle g(t)=\int_0^t u(s)ds\)
L'erquazione integrale diventa:
\( \displaystyle g'(t)=f(t)+ag(t)\) con \( g(0)=0\)
daq cui:
\( \displaystyle g'(t)e^{-at}-ae^{-at}g(t)=f(t)e^{-at}\)
\( \displaystyle \frac{d}{dt}\left( g(t)e^{-at}\right)=f(t)e^{-at}\)
integrando:
\( \displaystyle g(t)e^{-at}=\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)
\( \displaystyle g(t)= e^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)
derivando:
\( \displaystyle u(t)=g'(t)=ae^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds +f(t)\)
Perdona l'ingenuità, ma se derivi tutto e applichi la formula risolutiva che per esempio trovi qui non sei a posto?
@ Martino: il problema è che, nelle ipotesi, $f$ è assunta solo continua.
@ totissimus: che dire... grazie! Ho proprio preso un bello svarione, peccato perché l'esercizio era anche semplice. Sono andato a complicarmi terribilmente la vita. Grazie ancora.
@ totissimus: che dire... grazie! Ho proprio preso un bello svarione, peccato perché l'esercizio era anche semplice. Sono andato a complicarmi terribilmente la vita. Grazie ancora.
"Paolo90":Ah giusto.
@ Martino: il problema è che, nelle ipotesi, $f$ è assunta solo continua.
"Paolo90":Non sei l'unico, poi il campanello d'allarme suona quando vuoi provare a risolvere l'esercizio per \(a\geq1\) con teoremi di punto fisso; lì si capisce che devi cambiare approccio, possibilmente con trucchi elementari!
...Ho proprio preso un bello svarione, peccato perché l'esercizio era anche semplice. Sono andato a complicarmi terribilmente la vita...

Una curiosità, tanto per fare due chiacchiere: l'idea di Martino mi pare funzionare, basta usare un piccolo trucco per sbarazzarsi della mancanza di regolarità della \(f\). Infatti, usando il teorema di Weierstrass possiamo approssimare uniformemente \(f\) con una successione di polinomi \(f_n\) (ci basterebbe \(f_n \in C^1\)). Poi consideriamo l'equazione regolarizzata
\begin{equation}\tag{2}
u_n(t)=f_n(t)+a\int_0^t u_n(s)\, ds,
\end{equation}
che risolviamo con la tecnica indicata da Martino ottenendo, naturalmente, la stessa formula trovata da totissimus:
\begin{equation}\tag{3}
u_n(t)=ae^{at}\int_0^t f_n(s) e^{-as}\, ds + f_n(t).
\end{equation}
Si vede dalla (3) che \(u_n\) converge uniformemente ad
\[u(t)=ae^{at}\int_0^t f(s) e^{-as}\, ds + f(t).\]
Ma allora anche ambo i membri della (2) convergono, per cui \(u\) è soluzione dell'equazione
\[
u(t)=f(t)+a\int_0^t u(s)\, ds.\]
\begin{equation}\tag{2}
u_n(t)=f_n(t)+a\int_0^t u_n(s)\, ds,
\end{equation}
che risolviamo con la tecnica indicata da Martino ottenendo, naturalmente, la stessa formula trovata da totissimus:
\begin{equation}\tag{3}
u_n(t)=ae^{at}\int_0^t f_n(s) e^{-as}\, ds + f_n(t).
\end{equation}
Si vede dalla (3) che \(u_n\) converge uniformemente ad
\[u(t)=ae^{at}\int_0^t f(s) e^{-as}\, ds + f(t).\]
Ma allora anche ambo i membri della (2) convergono, per cui \(u\) è soluzione dell'equazione
\[
u(t)=f(t)+a\int_0^t u(s)\, ds.\]