Un'equazione integrale

[Paolo902]

Problema (Concorso di ammissione SNS, IV anno) Sia $a \in \mathbb R$ e $f: [0,1] \to \mathbb R$ una funzione continua. Risolvere l'equazione integrale
\[
u(t) = f(t) + a \int_0^t u(s) ds, \qquad t \ge 0
\]
trovando l'espressione esplicita della soluzione.

Il problema principale di tutto l'esercizio riguarda la regolarità di $f$: infatti, se supponiamo $f$ derivabile e cerchiamo quindi soluzioni nello spazio delle funzioni derivabili, l'esercizio diventa banale e si riduce a una semplice equazione differenziale ordinaria lineare, del primo ordine.

Fatta questa osservazione preliminare, ho pensato che, per cominciare, uno può farsi venire in mente Banach-Caccioppoli. L'idea è sfruttare la forma in cui è scritta l'equazione e ricondurre il tutto a un problema di punto fisso.
Allora prendo [tex]X=(C([0,1]), \Vert \cdot \Vert_{\infty})[/tex] che è di Banach e definisco l'operatore
\[
\begin{split}
T \colon & X \to X \\
& u(t) \mapsto f(t) + a \int_0^t u(s) ds
\end{split}
\]

L'operatore è ben definito, nel senso che $T(u)$ è una funzione continua: anzi, è lipschitziana e se [tex]\vert a \vert < 1[/tex] è una contrazione. I passaggi sono standard: si maggiora il valore assoluto dell'integrale con l'integrale del valore assoluto etc Alla fine si ottiene
\[
\Vert Tu_1 - Tu_2 \Vert_{\infty} \le \vert a \vert \Vert u_1 - u_2 \Vert_{\infty}
\]
e quindi se [tex]\vert a \vert < 1[/tex] abbiamo una contrazione. Per il teorema di Banach Caccioppoli, dunque, $T$ ammette punto fisso e l'equazione ha soluzione.

Come trovarla? La teoria ci dice che il punto fisso dell'operatore è il limite della successione definita per ricorsione come $x_0 = \tilde{x}$ e $x_{n+1}=T(x_n)$ per ogni $n \in \mathbb N$, dove $\tilde{x}$ è un qualsiasi elemento di $X$. Chi scegliamo?

La mia idea era prendere la funzione costante $u_0\equiv f(0)$; in tal modo,
\[
u_1(t) = f(t) + \int_0^t f(0)ds= f(t) + f(0)t
\]
e
\[
u_2(t) = f(t) + \int_0^t f(s) + f(0)s ds = f(t) + \int_0^t f(s)ds + f(0)\frac{t^2}{2}
\]
In generale, l'espressione di $u_n$ è piuttosto bruttina perchè tira in ballo l'integrale dell'integrale dell'integrale ... di $f$, il che mi pare ben poco sensato. Dov'è l'errore?
Avete idea di come finire? E il caso [tex]\vert a \vert < 1[/tex]?

Grazie in anticipo.

[totissimus]

Ponendo

\(\displaystyle g(t)=\int_0^t u(s)ds\)

L'erquazione integrale diventa:

\( \displaystyle g'(t)=f(t)+ag(t)\) con \( g(0)=0\)

daq cui:

\( \displaystyle g'(t)e^{-at}-ae^{-at}g(t)=f(t)e^{-at}\)

\( \displaystyle \frac{d}{dt}\left( g(t)e^{-at}\right)=f(t)e^{-at}\)

integrando:

\( \displaystyle g(t)e^{-at}=\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)

\( \displaystyle g(t)= e^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds\)

derivando:

\( \displaystyle u(t)=g'(t)=ae^{at}\int_0^t f(s)e^{-as}ds +f(t)\)

[Studente Anonimo]

Perdona l'ingenuità, ma se derivi tutto e applichi la formula risolutiva che per esempio trovi qui non sei a posto?

[Paolo902]

@ Martino: il problema è che, nelle ipotesi, $f$ è assunta solo continua.

@ totissimus: che dire... grazie! Ho proprio preso un bello svarione, peccato perché l'esercizio era anche semplice. Sono andato a complicarmi terribilmente la vita. Grazie ancora.

[Studente Anonimo]

"Paolo90":@ Martino: il problema è che, nelle ipotesi, $f$ è assunta solo continua.

Ah giusto.

[j18eos]

"Paolo90":...Ho proprio preso un bello svarione, peccato perché l'esercizio era anche semplice. Sono andato a complicarmi terribilmente la vita...

Non sei l'unico, poi il campanello d'allarme suona quando vuoi provare a risolvere l'esercizio per \(a\geq1\) con teoremi di punto fisso; lì si capisce che devi cambiare approccio, possibilmente con trucchi elementari!

[dissonance]

Una curiosità, tanto per fare due chiacchiere: l'idea di Martino mi pare funzionare, basta usare un piccolo trucco per sbarazzarsi della mancanza di regolarità della \(f\). Infatti, usando il teorema di Weierstrass possiamo approssimare uniformemente \(f\) con una successione di polinomi \(f_n\) (ci basterebbe \(f_n \in C^1\)). Poi consideriamo l'equazione regolarizzata
\begin{equation}\tag{2}
u_n(t)=f_n(t)+a\int_0^t u_n(s)\, ds,
\end{equation}
che risolviamo con la tecnica indicata da Martino ottenendo, naturalmente, la stessa formula trovata da totissimus:
\begin{equation}\tag{3}
u_n(t)=ae^{at}\int_0^t f_n(s) e^{-as}\, ds + f_n(t).
\end{equation}
Si vede dalla (3) che \(u_n\) converge uniformemente ad
\[u(t)=ae^{at}\int_0^t f(s) e^{-as}\, ds + f(t).\]
Ma allora anche ambo i membri della (2) convergono, per cui \(u\) è soluzione dell'equazione
\[
u(t)=f(t)+a\int_0^t u(s)\, ds.\]