Limite
Vi propongo questo esercizietto di cui possiedo la soluzione:
Calcolare il seguente limite:
$lim_(ntooo) [(n^((n+1)/2))/(n-1)^(n/2) * int_0^pi sin^nx \ text{d}x]$
Calcolare il seguente limite:
$lim_(ntooo) [(n^((n+1)/2))/(n-1)^(n/2) * int_0^pi sin^nx \ text{d}x]$
Risposte
"gugo82":
Ritenta
Probabilmente mi sono incasinato con l'approssimazione di Stirling... Mo vedo. 
Ciao a tutti!
Se quanto ho dedotto io è corretto,e pertanto quella successione "infame" converge a $sqrt((pie)/2)$,
posto ragionamento e contacci domani sera di ritorno dal mare;
altrimenti non massacratemi:
è colpa del sole 
!
Saluti dal web.
@Paolo(se dovessi leggere questo post ):
auguri infiniti,sopratutto per il proseguio della tua coraggiosa avventura nel fatato mondo,
talmente vasto da non riuscire ancora a darne una definizione del tutto esaustiva,della Matematica..
Se quanto ho dedotto io è corretto,e pertanto quella successione "infame" converge a $sqrt((pie)/2)$,
posto ragionamento e contacci domani sera di ritorno dal mare;
altrimenti non massacratemi:
è colpa del sole
!Saluti dal web.
@Paolo(se dovessi leggere questo post
):auguri infiniti,sopratutto per il proseguio della tua coraggiosa avventura nel fatato mondo,
talmente vasto da non riuscire ancora a darne una definizione del tutto esaustiva,della Matematica..
Il limite è invece \( \sqrt{2\pi e}\). Eseguo il calcolo solo con metodi elementari.
1) \( I_n=\int_0^{n} sin^n x dx\)
Non è difficile provare la seguente relazione ricorsiva:
2 ) \( I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)
Poniamo :
3) \( A_n=nI_n\)
Vale la relazione:
4) \( A_n=\frac{(n-1)^2}{n(n-2)}A_{n-2}\)
Inoltre
5) \(A_1=4, A_2=\frac{\pi^2}{2} \)
6) \( \frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{n^3}{(n+1)(n-1)^2}\frac{A_{n-1}}{A_{n-2}}\)
Dal fatto che: \( \frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi^2}{8}>1\) e \( \frac{n^3}{(n+1)(n-1)^2}>1\) \( \forall n \geq 1\) segue per induzione:
7) \( \frac{A_{n+1}}{A_n}>1\)
Quindi la successione \(A_n\) è crescente
Dalla 4) ricaviamo:
\( (n^2-2n)A_n=(n^2-2n+1)A_{n-2}\)
e quindi:
8) \( \frac{A_{n-2}}{A_n}=1-\frac{1}{(n-1)^2}=\frac{n(n-2)}{(n-1)^2} \)
Facendo la produttoria dei due membri di 8) si ricava facilmente:
9) \( A_nA_{n-1}=\frac{2(n-1)}{n}A_1A_2=\frac{4(n-1)\pi^2}{n}\)
siccome il limite del secondo membro di 9) è finito, la successione \(A_n\) deve tendere a un limite finito \(A\)
Facendo il limite ricaviamo:
\(A^2=4\pi^2 \)
10) \( A=2\pi\)
Dalla definizione di \(A_n\) segue che:
11) \( lim \sqrt{n}I_n=lim \sqrt{A_n}=\sqrt{2\pi}\)
Adesso abbiamo:
\( lim \frac{n^{\frac{n+1}{2}}}{(n-1)^{\frac{n}{2}}}\int_0^{\pi}sin^n x dx=\cdots =lim \frac{1}{\sqrt{(1-\frac{1}{n})^n}}\sqrt{n}I_n=\sqrt{2\pi e}\)
1) \( I_n=\int_0^{n} sin^n x dx\)
Non è difficile provare la seguente relazione ricorsiva:
2 ) \( I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)
Poniamo :
3) \( A_n=nI_n\)
Vale la relazione:
4) \( A_n=\frac{(n-1)^2}{n(n-2)}A_{n-2}\)
Inoltre
5) \(A_1=4, A_2=\frac{\pi^2}{2} \)
6) \( \frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{n^3}{(n+1)(n-1)^2}\frac{A_{n-1}}{A_{n-2}}\)
Dal fatto che: \( \frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi^2}{8}>1\) e \( \frac{n^3}{(n+1)(n-1)^2}>1\) \( \forall n \geq 1\) segue per induzione:
7) \( \frac{A_{n+1}}{A_n}>1\)
Quindi la successione \(A_n\) è crescente
Dalla 4) ricaviamo:
\( (n^2-2n)A_n=(n^2-2n+1)A_{n-2}\)
e quindi:
8) \( \frac{A_{n-2}}{A_n}=1-\frac{1}{(n-1)^2}=\frac{n(n-2)}{(n-1)^2} \)
Facendo la produttoria dei due membri di 8) si ricava facilmente:
9) \( A_nA_{n-1}=\frac{2(n-1)}{n}A_1A_2=\frac{4(n-1)\pi^2}{n}\)
siccome il limite del secondo membro di 9) è finito, la successione \(A_n\) deve tendere a un limite finito \(A\)
Facendo il limite ricaviamo:
\(A^2=4\pi^2 \)
10) \( A=2\pi\)
Dalla definizione di \(A_n\) segue che:
11) \( lim \sqrt{n}I_n=lim \sqrt{A_n}=\sqrt{2\pi}\)
Adesso abbiamo:
\( lim \frac{n^{\frac{n+1}{2}}}{(n-1)^{\frac{n}{2}}}\int_0^{\pi}sin^n x dx=\cdots =lim \frac{1}{\sqrt{(1-\frac{1}{n})^n}}\sqrt{n}I_n=\sqrt{2\pi e}\)
La soluzione data da totissumus è corretta, bravo. Mi sa che al punto 3 ti è partito il quadrato perché dovrebbe essere: $A_n = nI_n^2$.
Ciao a tutti:
lo sapevo io,che a farsi i conti sotto il Sole poi scappano i fattori moltiplicativi !
Ha ragione Toti(e non è una novità..);
ma quasi quasi posto lo stesso le considerazioni da me realizzate,
dato che la mia è stata sostanzialmente una disattenzione da fretta,
e le suddivido in punti iniziando però col dire come lo spunto iniziale sia stato il fatto che $EElim_(n to +oo)(n^(n/2))/((n-1)^(n/2))=..=sqrt(e)$:
si trattava allora di trovare,ammessane l'esistenza,il $lim_(n to +oo)sqrt(n)int_0^(pi)sin^nxdx$,
o equivalentemente il il $lim_(n to +oo)n(int_0^(pi)sin^nxdx)^2$,
il che è in fondo equivalente in caso di succ. a termini non negativi
(e la nostra lo era di certo,per semplici proprietà trigonometriche e degli integrali definiti..)
e regolari
(e quì qualche dubbio,poi rivelatosi infondato,lo coltivavo e magari a breve sarà chiaro perchè mi complicavo la Vita!)..
E quì vado nel vivo,dicendo che ho avuto una pensata simile a quella di Toti e,
per ricorrenza e sfruttando il teorema d'integrazione per parti relativo agli integrali definiti
(ma pure ringraziando il giovane Dr Paolo,che recentemente ha tirato fuori il semifattoriale in questa stanza..),
ho verificato che:
1.1)$int_0^(pi)sin^(2k+1)xdx=2((2k)!!)/((2k+1)!!)$ $AAk inNN$.
1.2)$int_0^(pi)sin^(2k)xdx=pi((2k-1)!!)/((2k)!!)$ $AAk inNN$.
Qualcosa del genere,nei miei lontani(solo nel tempo..)ricordi dei primi appassionati anni d'Università,
si trova da qualche parte nel Sansoni Conti
(ma prendetela col beneficio d'inventario,un pò perchè la memoria perde colpi ed un po perchè era un'edizione già vecchiotta quasi quattro lustri fà..):
ho poi pensato bene(veramente una furbata da auto-pacca sulle spalle,visto che ha generato i primi dubbi..),
di compendiarle sotto l'unica formula $b_n=int_0^(pi)sin^nxdx=2((n-1)!!)/(n!!)(sqrt(pi/2))^((-1)^n+1)$ $AAn inNN$(1).
"Grazie" ad essa,ed alla carta e penna appena citata ,
dopo lunghi smanettamenti con le proprietà elementari dei semifattoriali e con la Formula di Wallis,
ho provato che,almeno definitivamente(poi Toti dice che lo è addirittura in tutto $NN$,e mi fido..),
${n(b_n)^2}_(n inNN)$ è crescente(passatemela,che le doti di sintesi non sono il mio forte..)e dunque regolare;
tenderà allora al limite d'una sua estratta,e ci son stato bene dentro quella dei suoi elementi di posto pari:
per essa ho osservato(và bene,a meno del fattore moltiplicativo 2 lo avete capito )che
$EElim_(k to +oo)2k(b_(2k))^2=lim_(k to +oo)2kpi^2[((2k-1)!!)/((2k)!!)]^2=lim_(k to +oo)2pi^2*1/([((2k)!!)/((2k-1)!!)]^2*1/k)=2pi^2*1/(pi)$(per la Formula di Wallis)$=2pi$..
Saluti dal web.
lo sapevo io,che a farsi i conti sotto il Sole poi scappano i fattori moltiplicativi
!Ha ragione Toti(e non è una novità..);
ma quasi quasi posto lo stesso le considerazioni da me realizzate,
dato che la mia è stata sostanzialmente una disattenzione da fretta,
e le suddivido in punti iniziando però col dire come lo spunto iniziale sia stato il fatto che $EElim_(n to +oo)(n^(n/2))/((n-1)^(n/2))=..=sqrt(e)$:
si trattava allora di trovare,ammessane l'esistenza,il $lim_(n to +oo)sqrt(n)int_0^(pi)sin^nxdx$,
o equivalentemente il il $lim_(n to +oo)n(int_0^(pi)sin^nxdx)^2$,
il che è in fondo equivalente in caso di succ. a termini non negativi
(e la nostra lo era di certo,per semplici proprietà trigonometriche e degli integrali definiti..)
e regolari
(e quì qualche dubbio,poi rivelatosi infondato,lo coltivavo e magari a breve sarà chiaro perchè mi complicavo la Vita!)..
E quì vado nel vivo,dicendo che ho avuto una pensata simile a quella di Toti e,
per ricorrenza e sfruttando il teorema d'integrazione per parti relativo agli integrali definiti
(ma pure ringraziando il giovane Dr Paolo,che recentemente ha tirato fuori il semifattoriale in questa stanza..),
ho verificato che:
1.1)$int_0^(pi)sin^(2k+1)xdx=2((2k)!!)/((2k+1)!!)$ $AAk inNN$.
1.2)$int_0^(pi)sin^(2k)xdx=pi((2k-1)!!)/((2k)!!)$ $AAk inNN$.
Qualcosa del genere,nei miei lontani(solo nel tempo..)ricordi dei primi appassionati anni d'Università,
si trova da qualche parte nel Sansoni Conti
(ma prendetela col beneficio d'inventario,un pò perchè la memoria perde colpi ed un po perchè era un'edizione già vecchiotta quasi quattro lustri fà..):
ho poi pensato bene(veramente una furbata da auto-pacca sulle spalle,visto che ha generato i primi dubbi..),
di compendiarle sotto l'unica formula $b_n=int_0^(pi)sin^nxdx=2((n-1)!!)/(n!!)(sqrt(pi/2))^((-1)^n+1)$ $AAn inNN$(1).
"Grazie" ad essa,ed alla carta e penna appena citata
,dopo lunghi smanettamenti con le proprietà elementari dei semifattoriali e con la Formula di Wallis,
ho provato che,almeno definitivamente(poi Toti dice che lo è addirittura in tutto $NN$,e mi fido..),
${n(b_n)^2}_(n inNN)$ è crescente(passatemela,che le doti di sintesi non sono il mio forte..)e dunque regolare;
tenderà allora al limite d'una sua estratta,e ci son stato bene dentro quella dei suoi elementi di posto pari:
per essa ho osservato(và bene,a meno del fattore moltiplicativo 2 lo avete capito
)che$EElim_(k to +oo)2k(b_(2k))^2=lim_(k to +oo)2kpi^2[((2k-1)!!)/((2k)!!)]^2=lim_(k to +oo)2pi^2*1/([((2k)!!)/((2k-1)!!)]^2*1/k)=2pi^2*1/(pi)$(per la Formula di Wallis)$=2pi$..
Saluti dal web.
Correggo:
3) \( A_n=nI^2_n\)
@Covenant:grazie per la correzione.
3) \( A_n=nI^2_n\)
@Covenant:grazie per la correzione.
Una soluzione non elementare, in cui (come al solito ultimamente) uso le funzioni speciali.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo