[EX] - Funzione integrale

[Sk_Anonymous]

Questo esercizio è facile (credo). Ad ogni modo l'ho trovato abbastanza carino, quindi lo propongo: magari qualcuno vuole comunque cimentarsi.

Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{C}([0,+\infty[) \) tale che \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-s_{0} x}f(x)=0 \quad (\star) \] per un certo \(\displaystyle s_{0} \in \mathbb{R} \).
Si consideri poi la funzione (è ben definita? Mostrarlo!) \[\displaystyle [\Lambda f](s):=\int_{0}^{+\infty} e^{-sx}f(x) \; dx, \ \forall s>s_{0} \]

i) Mostrare che le funzioni \(\displaystyle f_{1}(x)=e^{\alpha x} \), \(\displaystyle f_{2}(x)=\cos(\omega x) \) e \(\displaystyle f_{3}(x)=x^{n} \) verificano la proprietà \(\displaystyle (\star) \) e calcolare \(\displaystyle \Lambda f \) per ognuna di queste funzioni;
ii) Supponiamo che \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle f \; ' \) soddisfino \(\displaystyle (\star) \) per un certo \(\displaystyle s_{0} \). Mostrare che vale la formula \[\displaystyle [\Lambda f \; '](s)=s[\Lambda f](s)-f(0) \]

Il testo dell'esercizio dice inoltre che \(\displaystyle \Lambda f \) è detta Trasformata di Laplace di \(\displaystyle f \).

Punto (i):
Nota: ho risolto l'esercizio considerando \(\displaystyle s_{0}>0 \), ma il caso \(\displaystyle s_{0}<0 \) è quasi speculare.

Si ha \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{(-s_{0}+\alpha)x}=0 \ \Longleftrightarrow \ \alphateorema del confronto.

Per quanto riguarda la terza funzione, mi appello al limite notevole (non sto a provarlo). Si ha quindi \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{n}}{e^{s_{0}x}}=0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Passiamo all'integrazione.
\[\displaystyle [\Lambda f_{1}](s)=\int_{0}^{+\infty} e^{(\alpha-s)x} \; dx= \left[\frac{e^{(\alpha -s)x}}{\alpha-s} \right]^{+\infty}_{0}=-\frac{1}{\alpha-s} \]
\[\displaystyle [\Lambda f_{2}](s)=\int^{+\infty}_{0} e^{-sx} \cos(\omega x) \; dx=\left[ \frac{e^{-sx} \sin(\omega x)}{\omega} \right]^{+\infty}_{0}+\frac{s}{\omega}\int^{+\infty}_{0} e^{-sx} \sin(\omega x) \; dx=\] \[\displaystyle \frac{s}{\omega} \left[-\frac{e^{-sx} \cos(\omega x)}{\omega} \right]^{+\infty}_{0} - \frac{s^2}{ \omega^{2}} \int^{+\infty}_{0} e^{-sx} \cos(\omega x) \; dx \]
da cui \[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} e^{-sx} \cos(\omega x) \; dx=\frac{\frac{s}{ \omega^2}}{\left(1+ \frac{s^2}{ \omega^2} \right)}=\frac{s}{ \omega^2 +s^2} \]
Infine \[\displaystyle [\Lambda f_{3} ](s)=\int^{+\infty}_{0} e^{-sx}x^{n} \; dx=\left[-\frac{e^{-sx}x^{n}}{s} \right]^{+\infty}_{0} \left(=0 \right) + \frac{n}{s} \int^{+\infty}_{0} e^{-sx} x^{n-1} \; dx=...=\frac{n!}{s^{n+1}}\]

Punto (ii):
Si ha, integrando per parti \[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} e^{-sx} f \; ' (x) \; dx=\left[e^{-sx} f(x) \right]^{+\infty}_{0} + s \int^{+\infty}_{0} e^{-sx} f(x) \; dx =s[\Lambda f](s)-f(0) \]

Insomma... Bisogna fare solo qualche conticino.

[j18eos]

Ma sei innatamente fissato con gli spazi \(L^2\)?