Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!
Ho bisogno di aiuto; devo trovare tutte le soluzioni di questo sistema:
x +2z=1
2x + y + 3z=1
x + y + z=0
soluzione: (1,-1,0) +t(-2,1,1).
Io ho provato a seguire un esercizio che ho negli appunti e ho fatto così.
ho relaizzato questo sistema:
x y z
1 0 2 1
1 1 1 1
1 1 1 0
e, con vari passaggi, mi sono ridotto ad un sistema a scala di questo tipo:
x y z
1 1 3 1
0 1 2 1
0 0 2 -1
quindi ...
Testo :
Si consideri l'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 definita da :
f(x,y,z,t)=(x+2z-t,2x+z-t,x-z+2t)
a) trovare una base di ker f,una base di im f e le loro dimensioni.
b) dire se il vettore w = (2,0,2) appartiene a im f.
dim im f =3
dim ker f =1
base Im f ={(1,1,6);(2,-1,0);(-1,0,0)}
per determinare il ker f so che devo porre la f(x,y,z,t) pero viene tutto 0...come devo procedere?
come verifico il punto b) ?
grazie
Sia $T:M_2,2(RR)rarr RR_2[t]$ definita da:
$T(x,y),(z,w)=(x+8y)t^2+(x+y+z)t+(y+2z+w)$
scrivi la matrice rispetto a due basi a tua scelta
$b=((1,1),(1,1))$
ma ora ho due problemi
non so che altra base scegliere e non so come scrivere la matrice...
penso di aver risolto tutti i dubbi dopo questo sulle matrici associate ....e ho l'esame domani ..
Salve ragazzi, spero qualcuno di voi possa essermi di aiuto su questo esercizio:
Data l'applicazione $f:R^3 -> R^3$ tale che $\f(x,y,z) = ( 3x + 2y - 3z, 2y, x + 2y -z)$ :
1)determinare una base per Kerf e Imf;
2)dire se l'applicazione è diagonalizzabile;
3)determinare una base di $R^3$ costituita da autovettori per f.
Allora, so che una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale. Se i vettori della base sono v1,v2,vn, lo spazio generato ha ...
Ho scoperto che è possibile definire gli autovalori di una matrice rispetto ad un'altra matrice diversa dall'identità.
mi chiedevo se qualcuno di voi avesse delle dispense in merito su cui approfondire il problema ad esempio quello della diagonalizzazione.
grazie mille.
Si consideri la forma bilineare $g:RR^4xRR^4->RR$ di matrice $((2,1,1,0),(1,-1,-1,-2),(1,-1,0,-1),(0,-2,-1,-2))$ nella base canonica.
Esibire la segnatura di $g$ esibendo una base ortogonale.
Significa innanzitutto trovare una matrice ortogonale $P$ tale che $D=P^tAP$ con $D$ matrice diagonale.
Ma come trovo la base ortogonale?
Salve a tutti
^_^
Dopo un po di vacanze mi sono rimesso a studiare e non riesco a capire due cose sui piani
Piani paralleli
Da teoria due piani risultano esser paralleli se il piano $\pi'$ è parallelo a due rette del piano $\pi$
Quindi questa due rette me le devo inventare(se si come?), e verificare prima una e poi l'altra se risultano esser paralleli a $\pi'$?
Retta come intersezione di piani e fascio di piani
su questa parte ho parecchia ...
Ragazzi mi servirebbe un metodo pratico per stabilire la posizione delle rette nello spazio.
Cioè se i vettori direttori delle rette sono proporzionali, queste sono parallele, se la combinazione lineare dei vettori direttori è uguale a 0 sono perpendicolari, ok. Mi rimane da capire come poter vedere se sono incidenti...Se non sono parallele e incidenti posso concludere che sono sghembe e quindi ho risposto al quesito...suggerimenti?
L'esercizio mi chiede di determinare una base di $ W1 $ definito come l'insieme intersezione tra le matrici simmetriche e quelle a traccia nulla ovvero : $ W1 = S( RR ^2,^2) nn ZZ ( RR ^2,^2) $
Le matrici simmetriche sono tali che scambiando le righe con le colonne ottengo di nuovo la matrice di partenza mentre quelle a traccia nulla sono quelle matrici quadrate che hanno 0 sulla diagonale principale .
Non ho idea di come rappresentare il sottospazio vettoriale o meglio come determinare un sistema ...
C'è un esercizio che mi chiede di determinare l'equazione del piano passante per $P(0,0,3)$
parallelo alla retta di equazioni
r)$ x+y-1=0;$
$2x-3z-1=0;$
e perpendicolare al piano $pi)$ $x-2y+3=0$
Ho proceduto in questo modo:
Un piano generico passante per P ha equazione:
$a(x)+b(y)+c(z-3)=0;$
La condizione di parallelismo con la retta è :
$al+bm+cn=0;$
Calcolando i parametri direttori della retta ...
Ciao a tutti vorrei sapere se l'affermazione è giusta e come devo continuare con i passaggi grazie!!!
Si consideri in $ R^3 $ il seguente sottospazio W= , con v1=(1,2,1), v2=(k,k-2,2), v3=(1,1,1) con $k in r$.
l'affermazione è:Esiste un solo valore di k reale, per il quale $W= R^3 $
io ho scritto la matrice, trovato il valore di k poi come continuo facendo cosa?
uno spazio proiettivo può essere definito come ampliamento di uno spazio affine , aggiungendo ad esso i cosiddetti "punti impropri". Valgono i seguenti assiomi (e i loro duali):
1)due punti distinti appartengono ad un'unica retta
2)tre punti non allineati appartengono ad un unico piano
3)se due punti distinti di una retta appartengono ad un piano, ogni altro punto della retta appartiene a questo piano
4)se due piani hanno un punto in comune, devono avere almeno un altro punto in ...
esiste un prodotto scalare in $RR^3$ TELE CHE $<e_1,e_1>=<e_2,e_2>=<e_3,e_3>=0<br />
<br />
io penso che non esiste visto che se $e_1=((1),(0),(0))$<br />
$=1$ quindi è diverso da 0
è corretto o no??potete aiutarmi?
Leggendo su wikipedia, ho trovato questa frase:
"Ogni spazio vettoriale ammette una base solo se si fa uso dell'assioma della scelta"
Ovviamente, essendo fisico, la teoria degli insiemi non la so esattamente bene, tuttavia, vorrei sapere In che modo, nella costruzione di una base, intervenga questo assioma.
Ciao a tutti, ho provato a svolgere l'esercizio n.2 che c'è sul foglio di es. reperibile a questo indirizzo http://www.mat.uniroma1.it/~incitti/091 ... glio10.pdf ... Per quanto riguarda la prima parte non ho avuto problemi. L'insicurezza del risultato e del procedimento corretto nasce nella seconda parte. Vi mostro ora quello che ho fatto così che mi possiate correggere.
Per calcolarmi la matrice A ho calcolato ...
ciao, avrei un dubbio su una diagonalizzazione, ho da poco iniziato a studiare il metodo e mi trovo di fronte ad una funzione contenente una variabile $k$
$f(x,y,z)=\{(2x-3y), (2kx-3ky), (x+2y+(2k-1)z):}$
la matrice per la diagonalizzazione dovrebbe essere
$|( 2-\lambda, -3, 0 ),( 2k , -3k-\lambda , 0 ),( 1 , 2 , 2k-1-\lambda )|$
giusto ?
scomponendo il polinomio caratteristico ottengo che uguale a
$\lambda(-\lambda -3k +2) (\lambda -2k +1) $
quindi i gli autovalori sono : $(0, -3k+2 , 2k-1)$
fino a qui dovrebbe essere tutto giusto.
il problema ce l'ho con il ...
è dato l'operatore $A$=$((2-i,i),(2+i,i))$
si determinino gli autovalori di A.Si determinino i proiettori relativi agli autovettori di $A$ e si verifichi la validità della decomposizione
spettrale per l'operatore $A$.Per ognuno dei proiettori si determini il nucleo e il range (o immagine).
Premetto che sono a digiuno da algebra lineare quindi anche semplici problemi mi risultano ostici.
I miei dubbi sorgono quando devo calcolare il range ed il ...
Posto un semplicissimo problema e io , stupidamente , non sto riuscendo a capire
Rispetto ad una base ortonormale B = ( i , j, k) sono dati i vettori
v1= a i + j , v2= i + a k , v3 = i+j+k , $ a in RR $
Determinare i valori di a per cui il volume (con segno) del tetraedro di spigoli v1,v2,v3 è pari a -1/6.
Allora il prodotto misto dati tre vettori restituisce uno scalare per cui ho calcolato
$ (v1 ^^ v2)*v3 $ il questo modo :
$ | ( a , 1 , 0 ),( 1 , 0, a ),( 1 , 1 , 1) | $ ed ho ottenuto -a^2 -1 +a ...
Non so se vado contro il regolamento del forum, ma dato che l'esercizio è gia scritto evito di scriverlo con le formule ma metto l'immagine
Allora, per chi non avesse voglia di leggere tutto quello che sto per scrivere, il punto è che non riesco per bene a formalizzare il punto 2.
Per il resto ora scrivo brevemente la mia soluzione e spero che qualcuno abbia tempo e voglia di leggerla e dirmi se va bene, o se ci sono errori.
Per il punto (1).
Allora, Abbiamo due rette ...
Sto cercando di calcolare la curvatura della curva parametrica $ {(x=t^2),(y=t-1/3t^3):} $ nel punto $ (1,2/3) $ Per poter fare questo,ho bisogno di riparametrizzare la rappresentazione della curva secondo l'ascissa curvilinea,quindi ho svolto il seguente calcolo $ s(t)=int_(0)^(t) sqrt(4tau^2+(1-tau^2)^2) d(tau)=t^3/3+t $ Quindi $ s=t^3/3+t $ Avendo al secondo membro un polinomio di grado superiore al primo,come posso esplicitare t in funzione di s?
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