Esercizio sugli operatori lineari
è dato l'operatore $A$=$((2-i,i),(2+i,i))$
si determinino gli autovalori di A.Si determinino i proiettori relativi agli autovettori di $A$ e si verifichi la validità della decomposizione
spettrale per l'operatore $A$.Per ognuno dei proiettori si determini il nucleo e il range (o immagine).
Premetto che sono a digiuno da algebra lineare quindi anche semplici problemi mi risultano ostici.
I miei dubbi sorgono quando devo calcolare il range ed il nucleo , comunque riporto per intero i conti.
Per prima cosa determino gli autovalori $\ lambda$1= $1+i$ $\lambda$2=$1-i$ i proiettori sono
$P$1=$1/2 ((-i,1),(1-2i,2+i))$ $P$2=$1/2((i+2,-1),(2i-1,-i))$ e questi verificano il teorema di decomposizione spettrale.
A questo punto mi devo calcolare immagine è nucleo del primo proiettore:
Il nucleo è l'insieme dei vettori tali che $PX$=0 quindi dovrò risolvere il sistema $1/2((-i,1),(1-2i,2+i)) ((x),(y))=((0),(0))$ svolgendo i conti
mi viene che il nucleo è $((-i),(1))$ dico bene?
a queto punto mi devo calcolare l'immagine che viene definita come l'insieme dei vettori nella forma $PX$ come devo procedere in questo caso?
si determinino gli autovalori di A.Si determinino i proiettori relativi agli autovettori di $A$ e si verifichi la validità della decomposizione
spettrale per l'operatore $A$.Per ognuno dei proiettori si determini il nucleo e il range (o immagine).
Premetto che sono a digiuno da algebra lineare quindi anche semplici problemi mi risultano ostici.
I miei dubbi sorgono quando devo calcolare il range ed il nucleo , comunque riporto per intero i conti.
Per prima cosa determino gli autovalori $\ lambda$1= $1+i$ $\lambda$2=$1-i$ i proiettori sono
$P$1=$1/2 ((-i,1),(1-2i,2+i))$ $P$2=$1/2((i+2,-1),(2i-1,-i))$ e questi verificano il teorema di decomposizione spettrale.
A questo punto mi devo calcolare immagine è nucleo del primo proiettore:
Il nucleo è l'insieme dei vettori tali che $PX$=0 quindi dovrò risolvere il sistema $1/2((-i,1),(1-2i,2+i)) ((x),(y))=((0),(0))$ svolgendo i conti
mi viene che il nucleo è $((-i),(1))$ dico bene?
a queto punto mi devo calcolare l'immagine che viene definita come l'insieme dei vettori nella forma $PX$ come devo procedere in questo caso?
Risposte
Nessuno mi può aiutare?
up
"baldo89":
...mi viene che il nucleo è $((-i),(1))$ dico bene?...
No, in quanto il nucleo di un operatore lineare è un sottospazio vettoriale dello spazio ambiente. Se per nucleo tu intendessi l'insieme dei vettori tali che [tex]$A\underline v=\underline0$[/tex] dovresti risolvere questo sistema matriciale!
Un proiettore ortogonale $P$ soddisfa a $P = P^+ = P^2$, mentre i tuoi $P_1,P_2$ paiono non soddisfarle (con $P^+$ indico l'aggiunto di $P$).
Volendo, per trovarli, se gli autovalori sono $1+i$ e $1-i$ e i corrispettivi proiettori sono $P_1$ e $P_2$ hai, per il teorema spettrale, $A = (1+i)P_1 + (1-i)P_2$. Da questa ottieni $A^+= (1-i)P_1 + (1+i)P_2$. Sommando e sottraendo hai così $P_1 = \frac{A + A^+}{4} + \frac{A - A^+}{4i}$ e analogamente per $P_2$.
Per l'ultima parte basta che usi il fatto che l'immagine di un proiettore ortogonale corrisponde al sottospazio su cui esso proietta, mentre il nucleo corrisponde al suo ortogonale.
Volendo, per trovarli, se gli autovalori sono $1+i$ e $1-i$ e i corrispettivi proiettori sono $P_1$ e $P_2$ hai, per il teorema spettrale, $A = (1+i)P_1 + (1-i)P_2$. Da questa ottieni $A^+= (1-i)P_1 + (1+i)P_2$. Sommando e sottraendo hai così $P_1 = \frac{A + A^+}{4} + \frac{A - A^+}{4i}$ e analogamente per $P_2$.
Per l'ultima parte basta che usi il fatto che l'immagine di un proiettore ortogonale corrisponde al sottospazio su cui esso proietta, mentre il nucleo corrisponde al suo ortogonale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo