Esercizio su applicazione lineare.
Salve ragazzi, spero qualcuno di voi possa essermi di aiuto su questo esercizio:
Data l'applicazione $f:R^3 -> R^3$ tale che $\f(x,y,z) = ( 3x + 2y - 3z, 2y, x + 2y -z)$ :
1)determinare una base per Kerf e Imf;
2)dire se l'applicazione è diagonalizzabile;
3)determinare una base di $R^3$ costituita da autovettori per f.
Allora, so che una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale. Se i vettori della base sono v1,v2,vn, lo spazio generato ha dimensione n per definizione, ok. So che il nucleo di un'applicazione lineare(che è tale se rispetta la proprietà dell'omogeneità e additività) è costituito da quei vettori tali che $f(v) = 0$, ovvero l'applicazione restituisce in output vettori nulli, ok. L'immagine di un'applicazione lineare è invece quel sottoinsieme del codominio, per cui preso un suo elemento b si ha che $f(a) = b$, insomma il classico concetto che is studia anche in analisi 1 per le funzioni solo qui più in generale e vabbè...
Per trovare il nucleo di un applicazione lineare se non sbaglio dovrei scrivere la matrice associata a quell'applicazione e risolvere il sistema omogeneo in pratica, quindi ho delle soluzioni che rappresentano il mio nucleo, ma poi però come faccio a trovare una base di questo nucleo?
O mi basta porre che l'immagini siano zero, risolvere un sistema in cui vado a trovare quindi il vettore appartenente a Ker(f)?
Per quanto riguarda l'immagine so come trovarne la dimensione, in pratica è il rango della matrice associata all'applicazione se non sbaglio, ma invece come posso fare per determinarne una base?
All'ultimo punto vado ancora più in tilt: per definizione dato un operatore lineare $\ T:V -> V$ , un vettore non nullo v di V viene detto autovettore per T se esiste uno scalare lambda tale che:
$\T(v)=lambda*v $ . Ok, quindi deve esestire questo $\lambda $che in pratica moltiplicato per questo v che prende il nome di autovettore ci dà lo stesso risultato che dà in output l'applicazione lineare...
Ma come posso determinare una base costituita da autovettori? Cioè non riesco forse a mettere in pratica la definizione di base...
Data l'applicazione $f:R^3 -> R^3$ tale che $\f(x,y,z) = ( 3x + 2y - 3z, 2y, x + 2y -z)$ :
1)determinare una base per Kerf e Imf;
2)dire se l'applicazione è diagonalizzabile;
3)determinare una base di $R^3$ costituita da autovettori per f.
Allora, so che una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale. Se i vettori della base sono v1,v2,vn, lo spazio generato ha dimensione n per definizione, ok. So che il nucleo di un'applicazione lineare(che è tale se rispetta la proprietà dell'omogeneità e additività) è costituito da quei vettori tali che $f(v) = 0$, ovvero l'applicazione restituisce in output vettori nulli, ok. L'immagine di un'applicazione lineare è invece quel sottoinsieme del codominio, per cui preso un suo elemento b si ha che $f(a) = b$, insomma il classico concetto che is studia anche in analisi 1 per le funzioni solo qui più in generale e vabbè...
Per trovare il nucleo di un applicazione lineare se non sbaglio dovrei scrivere la matrice associata a quell'applicazione e risolvere il sistema omogeneo in pratica, quindi ho delle soluzioni che rappresentano il mio nucleo, ma poi però come faccio a trovare una base di questo nucleo?
O mi basta porre che l'immagini siano zero, risolvere un sistema in cui vado a trovare quindi il vettore appartenente a Ker(f)?
Per quanto riguarda l'immagine so come trovarne la dimensione, in pratica è il rango della matrice associata all'applicazione se non sbaglio, ma invece come posso fare per determinarne una base?
All'ultimo punto vado ancora più in tilt: per definizione dato un operatore lineare $\ T:V -> V$ , un vettore non nullo v di V viene detto autovettore per T se esiste uno scalare lambda tale che:
$\T(v)=lambda*v $ . Ok, quindi deve esestire questo $\lambda $che in pratica moltiplicato per questo v che prende il nome di autovettore ci dà lo stesso risultato che dà in output l'applicazione lineare...
Ma come posso determinare una base costituita da autovettori? Cioè non riesco forse a mettere in pratica la definizione di base...
Risposte
[mod="Alexp"]
"agomath" premetto che ti reputo un utente abbastanza esperto, hai all'attivo più di 150 messaggi, quindi non hai giustificazioni......sei pregato di scrivere le formule correttamente anche per essere da esempio dei nuovi iscritti, mi raccomando correggi appena ti è possibile!
Grazie
[/mod]
"agomath" premetto che ti reputo un utente abbastanza esperto, hai all'attivo più di 150 messaggi, quindi non hai giustificazioni......sei pregato di scrivere le formule correttamente anche per essere da esempio dei nuovi iscritti, mi raccomando correggi appena ti è possibile!
Grazie
[/mod]
[quote=Alexp][/quote]
Chiedo venia
Chiedo venia
Nessun problema, grazie per la tempestiva collaborazione! 
Ricordandoti che vale la relazione [tex]$\dim\mathb{V}_n=null(f)+rank(f)$[/tex]; con [tex]$f$[/tex] applicazione lineare di dominio [tex]$\mathb{V}_n$[/tex], [tex]$rank(f)$[/tex] dimensione dello spazio immagine e [tex]$null(f)$[/tex] dimensione del nucleo, puoi iniziare a capire la dimensione di quest'ultimo (non ho capito se tu la sappia determinare a priori)!
Determinando una rappresentazione del nucleo inizi con lo scegliere un vettore di esso e lo completi in un sistema libero di tanti vettori del nucleo quanti [tex]$null(f)$[/tex] (tanto questo è un numero), sicché né ottieni una base.
Completi tale base del nucleo in una base di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], determini le immagini dei vettori di tale base non nel nucleo e da esse ti ricavi un sistema libero per cui una base dello spazio immagine!
Ma sai determinare gli autovalori di un'applicazioni lineare?
P.S.: Sistema libero = Sistema indipendente; Sistema legato = Sistema dipendente
Determinando una rappresentazione del nucleo inizi con lo scegliere un vettore di esso e lo completi in un sistema libero di tanti vettori del nucleo quanti [tex]$null(f)$[/tex] (tanto questo è un numero), sicché né ottieni una base.
Completi tale base del nucleo in una base di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], determini le immagini dei vettori di tale base non nel nucleo e da esse ti ricavi un sistema libero per cui una base dello spazio immagine!
Ma sai determinare gli autovalori di un'applicazioni lineare?
P.S.: Sistema libero = Sistema indipendente; Sistema legato = Sistema dipendente
Allora scusate la dispersività, mi sono accorto che sono andato a parare un po' troppo in generale...Allora, cerchiamo di andare dritto al sodo senza mezzi termini.
Punto 1. Sì, gli autovalori so determinarli, in pratica vado a scrivere una matrice associata a questa applicazione lineare e trovo i vari autovalori col solito algoritmo...Quindi per il quesito numero 2, ovvero sulla diagonalizzabilità dell'applicazione lineare dovrei saper rispondere, ok.
Punto 2. Il nucleo di questa applicazione lineare lo troverei appunto andando a scrivere in un sistema le immagini poste uguali a zero, come per definizione di nucleo, ma poi come faccio per determinarne una base? Conosco quella relazione sulla dimensione, ma a che serve in questo caso?Per vedere le componeneti del vettore che è una base? Dovrebbero essere 3 essendo in $\ R^3 $ se non sbaglio... non so invece proprio come trovare una base per l'immagie di f...
Punto 3. Non so come determinare una base formata da autovettori per f...
Questo il sunto, spero qualcuno possa aiutarmi, saluti.
Punto 1. Sì, gli autovalori so determinarli, in pratica vado a scrivere una matrice associata a questa applicazione lineare e trovo i vari autovalori col solito algoritmo...Quindi per il quesito numero 2, ovvero sulla diagonalizzabilità dell'applicazione lineare dovrei saper rispondere, ok.
Punto 2. Il nucleo di questa applicazione lineare lo troverei appunto andando a scrivere in un sistema le immagini poste uguali a zero, come per definizione di nucleo, ma poi come faccio per determinarne una base? Conosco quella relazione sulla dimensione, ma a che serve in questo caso?Per vedere le componeneti del vettore che è una base? Dovrebbero essere 3 essendo in $\ R^3 $ se non sbaglio... non so invece proprio come trovare una base per l'immagie di f...
Punto 3. Non so come determinare una base formata da autovettori per f...
Questo il sunto, spero qualcuno possa aiutarmi, saluti.
Iniziamo con la base del nucleo: determinandoti il rango della matrice rappresentante [tex]$f$[/tex] né determini il rango [tex]$rank(f)$[/tex] e di conseguenza la dimensione del nucleo o nullità [tex]$null(f)$[/tex] di f, cosicché capisci di quanti vettori hai bisogno per determinarne una base!
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