Diagonalizzazione matrice
ciao, avrei un dubbio su una diagonalizzazione, ho da poco iniziato a studiare il metodo e mi trovo di fronte ad una funzione contenente una variabile $k$
$f(x,y,z)=\{(2x-3y), (2kx-3ky), (x+2y+(2k-1)z):}$
la matrice per la diagonalizzazione dovrebbe essere
$|( 2-\lambda, -3, 0 ),( 2k , -3k-\lambda , 0 ),( 1 , 2 , 2k-1-\lambda )|$
giusto ?
scomponendo il polinomio caratteristico ottengo che uguale a
$\lambda(-\lambda -3k +2) (\lambda -2k +1) $
quindi i gli autovalori sono : $(0, -3k+2 , 2k-1)$
fino a qui dovrebbe essere tutto giusto.
il problema ce l'ho con il $k$. Se lo pongo uguale a $1/2$ allora ottengo due autovalori uguali a $0$ , quindi dovrei verificare che molteplicità algebrica e geometrica siano entrambe uguali a $2$. Ma dal sistema
$\{(2x-3y=0), (2kx-3ky=0), (x+2y+(2k-1)z=0):}$
con $k= 1/2$ , ottengo solo la soluzione nulla , tutte le variabili uguali a zero.
Se pongo invece $k =2/3$ o ottengo $(x,2/3x,-5)$, ma questo autovettore, detto in brutti termini, ha una sola dimensione non due, o sbaglio?
Significa che la funzione non è diagonalizzabile nè per $k= 1/2$ ne per $k=2/3$ ?
$f(x,y,z)=\{(2x-3y), (2kx-3ky), (x+2y+(2k-1)z):}$
la matrice per la diagonalizzazione dovrebbe essere
$|( 2-\lambda, -3, 0 ),( 2k , -3k-\lambda , 0 ),( 1 , 2 , 2k-1-\lambda )|$
giusto ?
scomponendo il polinomio caratteristico ottengo che uguale a
$\lambda(-\lambda -3k +2) (\lambda -2k +1) $
quindi i gli autovalori sono : $(0, -3k+2 , 2k-1)$
fino a qui dovrebbe essere tutto giusto.
il problema ce l'ho con il $k$. Se lo pongo uguale a $1/2$ allora ottengo due autovalori uguali a $0$ , quindi dovrei verificare che molteplicità algebrica e geometrica siano entrambe uguali a $2$. Ma dal sistema
$\{(2x-3y=0), (2kx-3ky=0), (x+2y+(2k-1)z=0):}$
con $k= 1/2$ , ottengo solo la soluzione nulla , tutte le variabili uguali a zero.
Se pongo invece $k =2/3$ o ottengo $(x,2/3x,-5)$, ma questo autovettore, detto in brutti termini, ha una sola dimensione non due, o sbaglio?
Significa che la funzione non è diagonalizzabile nè per $k= 1/2$ ne per $k=2/3$ ?
Risposte
Analizziamo la diagonalizzabilità dell'endomorfismo
[tex]f (x,y,z) = (2x-3y , 2kx-3ky, x+2y+(2k-1)z)[/tex];
il polinomio caratteristico è
[tex]p(\lambda) = - \lambda (\lambda + 3 k - 2) (\lambda - 2 k + 1)[/tex]
gli autovalori sono
[tex]\lambda_1 = 0 \;\; ; \;\; \lambda_2 = 2 - 3 k \;\; ; \;\; \lambda_3 = 2 k - 1[/tex].
I valori per cui si hanno autovalori coincidenti sono:
[tex]\lambda_1 = \lambda_2 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]\lambda_1 = \lambda_3 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\lambda_2 = \lambda_3 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{3}{5}[/tex]
Per [tex]k = \dfrac{2}{3}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile;
per [tex]k = \dfrac{1}{2}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile;
per [tex]k = \dfrac{3}{5}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
In definitiva l'endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se [tex]k \neq \dfrac{2}{3} , \dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{5}[/tex] .
[tex]f (x,y,z) = (2x-3y , 2kx-3ky, x+2y+(2k-1)z)[/tex];
il polinomio caratteristico è
[tex]p(\lambda) = - \lambda (\lambda + 3 k - 2) (\lambda - 2 k + 1)[/tex]
gli autovalori sono
[tex]\lambda_1 = 0 \;\; ; \;\; \lambda_2 = 2 - 3 k \;\; ; \;\; \lambda_3 = 2 k - 1[/tex].
I valori per cui si hanno autovalori coincidenti sono:
[tex]\lambda_1 = \lambda_2 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]\lambda_1 = \lambda_3 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\lambda_2 = \lambda_3 \;\; \Rightarrow \;\; k = \dfrac{3}{5}[/tex]
Per [tex]k = \dfrac{2}{3}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile;
per [tex]k = \dfrac{1}{2}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile;
per [tex]k = \dfrac{3}{5}[/tex] l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
In definitiva l'endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se [tex]k \neq \dfrac{2}{3} , \dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{5}[/tex] .
[mod="Alexp"]
Ciao "NonèIMPORTANTE",
ti ho sistemato le formule, perchè alcune erano scritte correttamente ed altre no...
Questo NON vuole essere un richiamo ufficiale, in quanto ancora utente inesperto, però mi raccomando presta un po' più di attenzione!
A presto
[/mod]
Ciao "NonèIMPORTANTE",
ti ho sistemato le formule, perchè alcune erano scritte correttamente ed altre no...
Questo NON vuole essere un richiamo ufficiale, in quanto ancora utente inesperto, però mi raccomando presta un po' più di attenzione!
A presto
[/mod]
grazie tante per l'aiuto , per quanto riguarda le imprecisioni , avevo cercato il simbolo del sistema e del lambda ma non sono riuscito a trovarli, in quale tag delle formule sono?
ho impostato k = 1 , calcolato gli autovettori e quindi trovato una base . alla fine tramite la formula della diagonalizzazione sono arrivato a questa matrice
$ | ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) | $
mi si chiede di trovare una forma diagonale e una matrice diagonalizzante, ma non è spiegato cosa sono . Penso di aver già trovato quello che mi viene chiesto,
la forma diagonale dovrebbe essere quella che ho appena scritto e la matrice diagonalizzante penso sia la matrice $ (C)^(-1) $ contenuta nella formula per trovare la matrice diagonale $ (C)^(-1) $ * A * C. Mi confermate questa cosa?
ho impostato k = 1 , calcolato gli autovettori e quindi trovato una base . alla fine tramite la formula della diagonalizzazione sono arrivato a questa matrice
$ | ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) | $
mi si chiede di trovare una forma diagonale e una matrice diagonalizzante, ma non è spiegato cosa sono . Penso di aver già trovato quello che mi viene chiesto,
la forma diagonale dovrebbe essere quella che ho appena scritto e la matrice diagonalizzante penso sia la matrice $ (C)^(-1) $ contenuta nella formula per trovare la matrice diagonale $ (C)^(-1) $ * A * C. Mi confermate questa cosa?
nessuno mi sa dire che cosa sono di preciso la forma diagonale e quella diagonalizzante?
Se [tex]$A$[/tex] è diagonalizzabile esistono due matrici [tex]$Q,D$[/tex], la prima invertibile e la seconda diagonale, tali che:
[tex]$A=Q\ D\ Q^{-1}$[/tex];
la [tex]$D$[/tex] si chiama forma diagonale di [tex]$A$[/tex] e la [tex]$Q$[/tex] matrice diagonalizzante; quindi la supposta è giusta (Carlo Pedersoli, click)
Ad ogni modo, sono definizioni che dovresti trovare su ogni testo di AL.
[tex]$A=Q\ D\ Q^{-1}$[/tex];
la [tex]$D$[/tex] si chiama forma diagonale di [tex]$A$[/tex] e la [tex]$Q$[/tex] matrice diagonalizzante; quindi la supposta è giusta (Carlo Pedersoli, click)
Ad ogni modo, sono definizioni che dovresti trovare su ogni testo di AL.
quindi la supposta è giusta
ah ah ahaa !!!
grazie del chiarimento
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