Assioma della scelta e spazi vettoriali: curiosità

Zkeggia
Leggendo su wikipedia, ho trovato questa frase:
"Ogni spazio vettoriale ammette una base solo se si fa uso dell'assioma della scelta"

Ovviamente, essendo fisico, la teoria degli insiemi non la so esattamente bene, tuttavia, vorrei sapere In che modo, nella costruzione di una base, intervenga questo assioma.

Risposte
j18eos
La dimostrazione che io conosco utilizza il lemma di (Kuratowski-)Zorn il quale è equivalente all'assioma della scelta, se lo spazio vettoriale avesse sostegno finito non c'è né sarebbe bisogno in quanto ogni sua base sarebbe costruibile "a mano"; cioé utilizzando la sua definizione di generatore minimale dello spazio ambiente, ad esempio!

Per il caso di spazi vettoriali a sostegno infinito, cedo la palla!

dissonance
Tutti i dettagli li trovi in una memorabile discussione con fields

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#295166

Il fatto è che per mostrare una proposizione di questo tipo bisogna procedere per induzione.
    [*:143u21nx]Si prende un vettore, se non è nullo si conserva e si passa al passo successivo, altrimenti si butta e si ripete l'estrazione. [/*:m:143u21nx]
    [*:143u21nx]Si prende un altro vettore, se è linearmente indipendente dal primo si conserva, altrimenti si butta e si ripete l'estrazione. [/*:m:143u21nx]
    [*:143u21nx]Si prende un altro vettore, se con i precedenti forma un insieme linearmente indipendente si conserva, altrimenti si butta e si ripete l'estrazione.
    etc...[/*:m:143u21nx][/list:u:143u21nx]

    Ma come formalizzare questo discorso? Se lo spazio vettoriale fosse un insieme finito, quello di sopra sarebbe un buon algoritmo, perché terminerebbe in un numero finito di passi lasciandoci con una base.

    Anche potrebbe andare bene come ragionamento se lo spazio fosse un insieme numerabile, perché in tal caso ci sarebbe lo strumento teorico del principio di induzione: l'algoritmo non finisce mai, però a livello teorico non importa, perché ugualmente definisce un sottoinsieme dello spazio vettoriale che risulta essere una base.

    Ma in generale, che si fa? Occorre uno strumento logico che giustifichi una costruzione di questo genere, ovvero (cito fields)
    "fields":
    "costruzione in cui ogni passo crea qualcosa di nuovo sfruttando tutto il lavoro precedente, che puo' essere anche infinito"
    Questo strumento logico, generalizzazione del principio di induzione, si chiama principio di induzione transfinita ed è equivalente, guarda un po', all'assioma della scelta.

    NOTA: Più spesso si usa dimostrare questo teorema facendo uso del lemma di Zorn, o del principio di massimo di Hausdorff. Sono altre forme di induzione transfinita, che si appoggiano sempre allo stesso caposaldo teorico.

gugo82
Se non ricordo male, per provare l'esistenza di una base si usa il celeberrimo lemma di Zorn, che è una delle tante forme in cui si manifesta lo AC. Dico "celeberrimo" perchè il lemma è uno dei tools della Teoria degli Insiemi che ogni matematico (anche un misero analista come me) deve saper usare.
Un'altra manifestazione utilissima all'analista è il principio di massimalità di Hausdorff, che è molto simile al lemma.

Il lemma di Zorn asserisce che:
In un insieme ordinato induttivo possiede qualche elemento massimale.

Faccio un esempio pratico per illustrare meglio i concetti...
Supponi di avere un groviglio di catene (proprio quelle di acciaio che si usano per fermare i motorini, va...) finite a maglie numerate progressivamente e chiama [tex]$G$[/tex] l'insieme delle maglie di tali catene; in [tex]$G$[/tex] definisci una relazione [tex]$\preceq$[/tex] tra le varie maglie ponendo:

[tex]$a\preceq b$[/tex] se e solo se esiste un tratto di catena [tex]$\mathcal{C}$[/tex] che congiunge [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex] tale che il numero di [tex]$a$[/tex] sia [tex]$\leq$[/tex] del numero di [tex]$b$[/tex] come maglie di [tex]$\mathcal{C}$[/tex];

la relazione [tex]$\preceq$[/tex] è d'ordine (infatti è transitiva, riflessiva ed asimmetrica), ma non è totale (infatti se [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex] appartengono a due catene diverse non c'è modo di avere né [tex]$a\preceq b$[/tex] né [tex]$b\prec a$[/tex]).

Se prendi un insieme totalmente ordinato di anelli [tex]$A\subseteq G$[/tex] (il che significa che per ogni [tex]$a,b\in A$[/tex] deve risultare o [tex]$a\preceq b$[/tex] oppure [tex]$b\preceq a$[/tex]), allora [tex]$A$[/tex] ha un "maggiorante" rispetto a [tex]$\preceq$[/tex]: infatti tutti gli elementi di [tex]$A$[/tex] devono necessariamente essere su uno stesso tratto di catena [tex]$\mathcal{C}$[/tex] e tale tratto ha certamente una maglia con numero progressivo [tex]$\geq$[/tex] degli altri.
Questa proprietà (che in linguaggio algebrico si traduce: ogni insieme [tex]$A\subseteq G$[/tex] totalmente ordinato da [tex]$\preceq$[/tex] ha almeno un maggiorante in [tex]$G$[/tex]) si esprime sinteticamente dicendo che il groviglio [tex]$G$[/tex] è un insieme ordinato induttivo.

Il lemma di Zorn allora ti dice: in [tex]$G$[/tex] esiste almeno un anello [tex]$\alpha$[/tex] che gode della proprietà:

[tex]\text{non esiste alcun } b \in G \text{ tale che } \alpha \preceq b[/tex];

un elemento [tex]$\alpha$[/tex] che gode della proprietà precedente è detto elemento massimale rispetto a [tex]$\preceq$[/tex].
Nota bene: il lemma non ti dice che [tex]$\alpha$[/tex] è il massimo di [tex]$G$[/tex] rispetto a [tex]$\preceq$[/tex] (ossia che per ogni [tex]$b\in G$[/tex] risulta [tex]$b\preceq \alpha$[/tex])!
Infatti possono benissimo esistere delle maglie [tex]$b\in G$[/tex] tali che non si ha né [tex]$b\preceq \alpha$[/tex] né tantomeno [tex]$\alpha \preceq b$[/tex] (in verità ciò succede appena il groviglio è formato da più di un tratto di catena).
Se vuoi, quello del lemma di Zorn è un risultato di massimo locale, ma non globale.

Dopo questa divagazione, torniamo al teorema di esistenza delle basi:
Ogni spazio vettoriale possiede almeno una base

La dimostrazione è un'applicazione banale del lemma di Zorn e del teoremino di caratterizzazione delle basi*.



__________
* Teoremino di caratterizzazione delle basi:
Siano [tex]$V$[/tex] uno spazio vettoriale e [tex]$B\subseteq V$[/tex].
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

i. ogni elemento di [tex]$V$[/tex] si scrive in unico modo come combinazione lineare (finita!) di elementi di [tex]$B$[/tex];

ii. [tex]$B$[/tex] è una parte indipendente massimale;

iii. [tex]$B$[/tex] è un sistema minimale di generatori di [tex]$V$[/tex].

Se si verifica una tra (e quindi tutte) le i-iii, si dice che [tex]$B$[/tex] è una base di [tex]$V$[/tex].

Zkeggia
Grazie a tutti, ora se non altro ho un concetto intuitivo di come si utilizza il teorema della scelta. Leggendo le 3 risposte e il link riportato da dissonance, vedo che ci sono un sacco di modi per utilizzare assioma della scelta - o equivalenti, nella costruzione di spazi vettoriali. Devo dire che pensavo fosse un discorso profondo (credo che per arrivare al lemma di zorn si fatichi non poco), però non credevo che fosse anche così... sfaccettato!

Vi ringrazio tutti. Queste domande "strane" (per un fisico) che faccio ultimamente vengono fuori principalmente di analisi, dove il mio professore parla troppo, accennando cose come "Qui bisogna usare l'assioma della scelta", che poi mi rimangono in mente, e dopo mesi riemergono.

Un'ultima domanda. Il discorso di gugo è estendibile solo a spazi vettoriali, visto che vuole dimostrare un'ipotesi per usare il teorema di caratterizzazione delle basi, che però così come è scritto vale solo in dimensione finita. Ma in dimensione infinita, di quanto si complicano le cose? Si deve necessariamente passare da ciò che mi ha accennato dissonance, e che è scritto in parte nel link che mi ha passato?

dissonance
Entrambi gli approcci (mio e di Gugo) sono riferiti a spazi di dimensione qualunque. Perché, essenzialmente, sono la stessa cosa: si usa l'induzione transfinita, direttamente o sotto forma di lemma di Zorn, per esibire l'esistenza (SENZA costruire esplicitamente) di un oggetto, in questo caso una base. Naturalmente bisogna specificare cosa si intende per "base" quando questa non è finita... Ma non è niente di particolarmente difficile, né di particolarmente utile se non per questioni molto astratte.

gugo82
"Zkeggia":
Un'ultima domanda. Il discorso di gugo è estendibile solo a spazi vettoriali, visto che vuole dimostrare un'ipotesi per usare il teorema di caratterizzazione delle basi, che però così come è scritto vale solo in dimensione finita.

Ma non è affatto vero.

Il concetto di base, come si evince dal teoremino, è definibile in qualsiasi spazio vettoriale (i concetti di combinazione lineare, parti libera massimale e sistema di generatori minimale non dipendono da quanto è grande lo spazio).

E poi, ricorda, per definizione la dimensione di uno spazio vettoriale coincide con la cardinalità delle sue basi (che hanno tutte la stessa cardinalità, per un noto risultato di equipotenza).
Ergo, logicamente, prima definisci le basi, poi provi il teorema di esistenza, poi fai il risultato di equipotenza e solo alla fine definisci la dimensione dello spazio...

Zkeggia
Ma nel teorema si parla di combinazione lineare finita, questo non è detto sia possibile. Perché sbaglio?

gugo82
"Zkeggia":
Ma nel teorema si parla di combinazione lineare finita, questo non è detto sia possibile. Perché sbaglio?

Non capisco questa obiezione.

Quando si parla di combinazione lineare l'aggettivo "finita" è un orpello, perchè, per definizione, una combinazione lineare è sempre fatta da un numero finito di addendi.
Questo perchè l'Algebra Lineare non conosce il concetto di limite, che si deve necessariamente usare per definire una somma d'infiniti addendi (del tipo delle serie di Fourier astratte cui sei abituato negli spazi di Hilbert) e che è proprio dell'Analisi.

Questa è la potenza del Teorema di esistenza delle basi: ti dice che, anche in uno spazio di Hilbert o di Banach generico, esiste sempre una parte libera (finita o infinita) che con le sue combinazioni lineari finite genera tutto lo spazio.
Che poi questa idea algebrico-lineare di base non serva a nulla per l'Analisi (che preferisce usare i sistemi completi) è un altro paio di maniche...

Come è un altro paio di maniche l'esistenza di basi hilbertiane/sistemi ortonormali completi in uno spazio di Hilbert.
Infatti quando usi una base hilbertiana non pretendi che ogni elemento dello spazio sia combinazione lineare di elementi del sistema, bensì che ogni elemento dello spazio sia approssimabile bene quanto si vuole con combinazioni lineari di elementi della base hilbertiana.
Per dirla in maniera concisa, in generale i concetti di base (nel senso dell'Algebra Lineare) e di base hilbertiana sono come acqua e olio: non si mischiano... A meno che lo spazio di Hilbert non abbia dimansione finita. :-D

j18eos
Spero di non offendere gugo affermando che le serie numeriche sono le combinazioni lineari d'infiniti vettori reali dello spazio vettoriale reale numerico 1-dimensionale, ovvero: [tex]$(\mathbb{R},+;\mathbb{R},\cdot)$[/tex] i cui vettori non sono nient'altro che i numeri reali. Come tu sai non tutte le serie numeriche convergono, quindi non tutte individuano un numero reale\vettore!

Scusate il gioco di parole! :oops: Ho postato ciò per mostrare che le combinazioni lineari infinite di vettori sono pericolose anche ove sia possibile definire in spazi vettoriali topologizzati; cioé ove sia definibile la convergenza!

Luca.Lussardi
Questo modo di vedere le serie mi mancava.... ma penso che con le combinazioni lineari c'entrino ben poco.

gugo82
"j18eos":
Spero di non offendere gugo affermando che le serie numeriche sono le combinazioni lineari d'infiniti vettori reali dello spazio vettoriale reale numerico 1-dimensionale, ovvero: [tex]$(\mathbb{R},+;\mathbb{R},\cdot)$[/tex] i cui vettori non sono nient'altro che i numeri reali.

Non mi offendi, ma dici il falso.

La definizione di combinazione lineare ha come base la finitezza del numero di addendi.
La riporto a scanso di equivoci:
Siano [tex]$V$[/tex] uno spazio vettoriale su un campo [tex]$\mathbb{K}$[/tex] e [tex]$S\subseteq V$[/tex] una parte non vuota.
Si dice che un vettore [tex]$v\in V$[/tex] è combinazione lineare di elementi di [tex]$S$[/tex] se e solo se esistono un numero finito di vettori [tex]$u_1,\ldots ,u_N\in S$[/tex] ed altrettanti scalari [tex]$\alpha_1,\ldots ,\alpha_N \in \mathbb{K}$[/tex] tali che:

[tex]$v=\sum_{n=1}^{N}\alpha_n\ u_n$[/tex].

Quindi, prima di confondere le idee agli altri utenti, vatti a leggere almeno l'inizio del capitolo sugli spazi vettoriali dal tuo libro di Algebra.

j18eos
Mamma mia, che cantonata che ho preso -_-

dissonance
Un'altra questione relativa al teorema in oggetto è l'effettiva costruibilità di una base di ogni spazio vettoriale. Io di logica, purtroppo, sono pressoché digiuno; ho però sentito dire che, in generale, una base infinita non è costruibile, ovvero si può dire che essa esiste (ammettendo l'assioma della scelta, naturalmente) ma non si può descriverla esplicitamente.

Per esempio, $RR$ si può vedere come $QQ$ spazio vettoriale e il teorema di esistenza delle basi ci assicura che esiste una parte $ccB={x_j \:\ j \in J}$ (dove $J$ è un opportuno insieme infinito) tale che ogni numero reale $x$ ha una unica decomposizione come

$x=q_1x_{j_1}+...+q_nx_{j_n}$

dove gli scalari $q_i$ sono razionali. Ma l'insieme $ccB$ non può essere costruito esplicitamente.

Se tutto questo sembra piuttosto confuso è perché il primo ad avere le idee confuse sono io! :-)

j18eos
OUT OF SELF:
"dissonance":
...Se tutto questo sembra piuttosto confuso è perché il primo ad avere le idee confuse sono io! :-)
Ti sono empatico! Proprio [tex]$\mathbb{R}$[/tex] come spazio vettoriale razionale m'incuriosisce, se quello che tu hai postato fosse vero allora potresti aver osmoticamente delucidato alcune idee a me :-D

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