Prodotto misto
Posto un semplicissimo problema e io , stupidamente , non sto riuscendo a capire
Rispetto ad una base ortonormale B = ( i , j, k) sono dati i vettori
v1= a i + j , v2= i + a k , v3 = i+j+k , $ a in RR $
Determinare i valori di a per cui il volume (con segno) del tetraedro di spigoli v1,v2,v3 è pari a -1/6.
Allora il prodotto misto dati tre vettori restituisce uno scalare per cui ho calcolato
$ (v1 ^^ v2)*v3 $ il questo modo :
$ | ( a , 1 , 0 ),( 1 , 0, a ),( 1 , 1 , 1) | $ ed ho ottenuto -a^2 -1 +a ;
Ora ,il significato geometrico del prodotto misto è 6 volte il volume (con segno ) del tetraedro individuato dai tre segmenti orientati ; significa quindi che -a^2 -1 +a = 6 ?
Come faccio a impostare il risultato ottenuto uguale a -1/6?
Grazie a chi mi consiglierà cosa fare
Rispetto ad una base ortonormale B = ( i , j, k) sono dati i vettori
v1= a i + j , v2= i + a k , v3 = i+j+k , $ a in RR $
Determinare i valori di a per cui il volume (con segno) del tetraedro di spigoli v1,v2,v3 è pari a -1/6.
Allora il prodotto misto dati tre vettori restituisce uno scalare per cui ho calcolato
$ (v1 ^^ v2)*v3 $ il questo modo :
$ | ( a , 1 , 0 ),( 1 , 0, a ),( 1 , 1 , 1) | $ ed ho ottenuto -a^2 -1 +a ;
Ora ,il significato geometrico del prodotto misto è 6 volte il volume (con segno ) del tetraedro individuato dai tre segmenti orientati ; significa quindi che -a^2 -1 +a = 6 ?
Come faccio a impostare il risultato ottenuto uguale a -1/6?
Grazie a chi mi consiglierà cosa fare
Risposte
io non li ho fatti più da tanto tempo, ma sicuro che si fa così?
io mi ricordavo che con il determinante si trovasse il prodotto vettoriale, e quindi alla prima riga ci va $(i,j,k)$ e non ci va il terzo vettore. poi tra il risultato del prodotto vettoriale e il terzo vettore si applicano altre regole (quelle del prodotto scalare).
mi scuso se esiste un modo per trovare direttamente il prodotto misto...
io mi ricordavo che con il determinante si trovasse il prodotto vettoriale, e quindi alla prima riga ci va $(i,j,k)$ e non ci va il terzo vettore. poi tra il risultato del prodotto vettoriale e il terzo vettore si applicano altre regole (quelle del prodotto scalare).
mi scuso se esiste un modo per trovare direttamente il prodotto misto...
Il mio libro dice
Sia B = ( i,j,k) una base ortonormale positiva di V3 e siano :
x=x1 i + x2 j + x3 k y,z scritto sempre mediante le componenti della base ( ho omesso io la scrittura di y , z mediante la scrittura in componenti.
il prodotto misto x,y,z è dato da $ (x ^^ y) z =| ( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 ,y3 ),( z1 , z2 , z3 ) | $ e la dimostrazione si basa su quello che dicevi tu :
prodotto vettoriale tra x e y moltiplicato scalarmante per il vettore z .
Però il dubbio mi rimane ; consideriamo che il risultato è corretto come impongo che il volume sia uguale a -1/6?
Sia B = ( i,j,k) una base ortonormale positiva di V3 e siano :
x=x1 i + x2 j + x3 k y,z scritto sempre mediante le componenti della base ( ho omesso io la scrittura di y , z mediante la scrittura in componenti.
il prodotto misto x,y,z è dato da $ (x ^^ y) z =| ( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 ,y3 ),( z1 , z2 , z3 ) | $ e la dimostrazione si basa su quello che dicevi tu :
prodotto vettoriale tra x e y moltiplicato scalarmante per il vettore z .
Però il dubbio mi rimane ; consideriamo che il risultato è corretto come impongo che il volume sia uguale a -1/6?
sì, ho controllato (nel senso che ho svolto il prodotto misto nei due modi).
secondo me, se ho capito il problema, il resto è quasi banale: devi semplicemente imporre $-a^2+a-1=-1$ e quindi ottenere per $a$ i due valori di $0, 1$.
questo, appunto, se non devi dimostrare la proprietà che hai scritto e che lega il prodotto misto al volume con segno del tetraedro.
secondo me, se ho capito il problema, il resto è quasi banale: devi semplicemente imporre $-a^2+a-1=-1$ e quindi ottenere per $a$ i due valori di $0, 1$.
questo, appunto, se non devi dimostrare la proprietà che hai scritto e che lega il prodotto misto al volume con segno del tetraedro.
Grazie davvero molto gentile
prego, di nulla!
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