Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti! Sto facendo un po' di esercizi ma questo mi crea alcune difficoltà...
Determinare il vettore simmetrico di $u = (0; 1; 1)$ rispetto al piano vettoriale $H$ dei
vettori $x = (x_1; x_2; x_3)$ tali che $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$.
Io ho pensato di ragionare con la proiezione del vettore $u$ sul piano $H$. Ho preso due vettori qualsiasi, per semplicità, $x = (1; 0; -1)$ e $x' = (0; 1; -2)$ e da qui ho trovato la proiezione di ...
salve a tutti.. scusate la domanda, ma è un pò di tempo che non "mastico" la geometria..
se ho 2 rette in forma parametrica, sghembe, in particolare
$r:\{(x=t+1), (y=t+3), (z=t+5):}$ e $s:\{(x=t), (y=2), (z=t+4):}$ come faccio a trovare la distanza fra loro?
grazie a tutti, sono domande banali ma domani ho l'esame.. GRAZIE!
Dati due vettori in R^n, il loro prodotto scalare è dato da: $ vec a* vec b=sum_(i = 1)^(n)a_i*b_i $
Nel caso di prodotto vettoriale, finchè n3?
Qualcuno sa spiegarmi perchè non è possibile o, se lo è, come si fà (magari con una formula generale analoga a quella per il prodotto scalare)?
L'esercizio è semplice eppure un po mi ha messo in difficoltà, soprattutto la formalizzazione, a occhio è semplice.
edit L'insieme $RR^3 - r$ è connesso?
dove $r$ è la retta di equazione ${(x,y,z) \in RR^3 |$x=1,y=0}$<br />
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La risposta è si, il modo ovvio di vederlo sarebbe con i cammini, ma il testo me lo da come esercizio subito dopo la definizione di connessione, quello che chiedo è se lo svolgimento è corretto (è davvero breve quindi non ruba molto tempo)<br />
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Si supponga $RR^3-r=U_1 uu U_2$ unione di due aperti, mostriamo che questi non possono esser disgiunti.<br />
(Poichè siamo in $RR^3$) sappiamo esistono due punti $P \in U_1$ e $Q \in U_2$ tali che la retta che li congiunge $s$ non interseca la retta $r$.<br />
Daltronde sappiamo pure che $s=(U_1 nn s) uu (U_2 nn s)$, questi sono due aperti nel sottospazio $s$ (la retta intesa come sottospazio), e questo sottospazio è omeomorfo ad $RR$, quindi connesso, quindi i due aperti non possono essere disgiunti, ovvero $(U_1 nn s) nn (U_2 ...
In uno spazio euclideo di dimensione 3 sono assegnati i punti $A(1,1,0)$ e la retta:
$r= { ( x-z=0 ),( y+1=0):} $
a)Provare che esiste un sol piano alpha per la retta r e il punto A
b)Rappresentare il piano y ortogonale ad r e passante per A
c)Rappresentare la retta s per A e parallela ad r
d)Calcolare la distanza di A da r e la distanza di r da s
e)Rappresentare un movimento h che trasformi r in s
Svolgimento
a)Il punto A non appartiene alla retta r e dunque per tre punti non ...
Sia g una forma bilineare e G la sua matrice di Gram associata.
Allora g è non degenere se e solo se G è invertibile.
Ci sono delle condizioni necessarie e sufficienti affinchè g sia non degenere a sinistra (risp. destra)?
Salve a tutti , sono alle prese con quest'esercizio :
Nello spazio vettoriale di V3 ,rispetto ad una base B= ( i, j , k) ,ortonormale positiva , sono dati i vettori :
a = (1,0,1) , b = (-2,1,0 ) , c = (h,k,-2) , $ k,h in RR $ .
Assegnati ad h,k, i valori per cui c è parallelo al vettore $ a ^^ b $ ,calcolare le componenti del vettore x di norma $ sqrt(3) $ ,complanare ad a e b e tale che il volume (col segno)
del tetraedro di spigoli a,c,x, sia uguale a 2 .
Allora ...
Salve, mi è appena venuta in mente una domanda alla quale non so assolutamente rispondere (visto che faccio Fisica e non si vanno mai a studiare spazi troppo astrusi, neanche quando si studia analisi): esistono insiemi in cui non è possibile definire una norma? Se sì, mi fate un esempio? È giusto una curiosità, ma non saprei minimamente da dove partire per dire qualsiasi cosa.
Trovare uno spazio $T_2$ ma nn $T_3$
Trovare uno spazio $T_3$ ma non $T_4$
richiamo
$T_1$
Uno spazio topologico si dice $T_1$ se per ogni coppia di punti distinti $x,y$ esistono due aperti, l'uno contenente $x$ e non $y$ e l'altro contenente $y$ e non $x$
$T_2$
Uno spazio topologico si dice $T_2$ se per ogni coppia di ...
ricorro al vostro aiuto per cercare di capire se ho risposto bene a queste tre domande filtro;
1)è sempre vero che $tr(AB)=tr(A)tr(B)?<br />
secondo me:no non è sempre vero e possiamo dimostrarlo con un esempio<br />
A=$((1,1),(2,1))$ <br />
<br />
e B=$((3,2),(6,3))$<br />
<br />
la matrice AB=$((9,5),(18,10))$<br />
<br />
la $tr(AB)=19$<br />
la $tr(A)=3$<br />
la $tr(B)=9$<br />
<br />
quindi $tr(AB)!=tr(A)tr(B)$
Ho un esercizio interessante, al quale sono riuscito solo a dare una risposta banale.
Dati due spazi topologici non omeomorfi $X$ e $Y$, trovare un gruppo che agisce su questi tale che $X/G$ sia omeomorfo a $Y/G$
La mia proposta era:
Considero come $X$ il toro immerso in $RR^3$ e come $Y$ considero$S^2$ (sempre immerso in $RR^3$)
E come $G$ considero il gruppo ...
Salve
Ho questi 5 vettori:
$v_1=(1,2,0,1), v_2=(2,4,-1,1), v_3=(0,0,1,1), v_4=(1,2,4,5), v_5=(1,-1,0,5)$
Devo vedere quali tra questi sono linearmente indipendenti.
Ho messo il colonna i vettori:
$ ( ( 1 , 2, 0, 1, 1),( 2 , 4, 0, 2, -1),( 0, -1, 1, 4, 0),( 1, 1, 1, 5 , 5) ) $ La matrice ridotta è:$ ( ( 1 , 2, 0, 1, 1),( 0, -1, 1, 4, 0),( 0, 0, 0, 0, -1),( 0, 0, 0, 0 , 0) ) $
E qui gli elementi speciali sono :$ a_(1,1)=1, a_(2,2)=-1, a_(3,5)=-1$, ne segue che i vettori linearmente indipendenti sono $v_1,v_2,v_5$ visto che gli ementi speciali si trovano rispettivamente lungo la prima, seconda e quinta colonna.
Ora se invece di mettere i vettori per colonna(nella matrice) li ...
Una forma alternante è antisimmetrica, ovvero $g(v,v)=0AAv\inV=>g(v_1,v_2)=-g(v_2,v_1)AAv_1,v_2\inV$.
Come posso provarlo?
Sia V un sottospazio di dimensione 3 e il seguente sottoinsieme di V rappresentato in un rifeirmento R dal sistema:
$ { ( x_1=1 ),( x_3=1 ):} $.
a) X è sottospazio di V?
b)Qual'è la dimensione del sottospazio generato W da X?
c)Determinare un endomorfismo di V avente come nucleo W.
d)Determinare Imf
e)Studiare la diagonalizzabilità di f.
Allora, ho risolto così:
a) X banalmente, non è un sottospazio di V poichè X non contiene il vettore nullo.
b) Una base del sottospazio di W è ...
Ho un esercizio di questo tipo :
Nello spazio vettoriale $R^2[x]$ fissata la base canonica $B={1,x,x^2}$ siano i vettori;
$p1(x)=1-x;$
$p2(x)=1-x^2$
$p3(x)=2x^2$
L'esercizio mi chiede:
a) verificare che costituiscano una base B' di $R^2[x]$
b) Determinare le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base B'.
Allora.
Il punto a) l'ho fatto.
Ho calcolato il determinante della matrice associata ai vettori, e mi è venuto 2, diverso da 0. ...
Ciao ragazzi,
avete degli esempi su come calcolare una matrice invertibile?
ho visto altri topic ma non ne ho tratto molto giovamento...
spero che abbiate un esempio chiaro affinche possa rispondere alla domanda:
"è sempre vero che il prodotto fra matrici invertibili sia invertibile?"
saluti Daiana
problemi geometria sulla circonferenza x favore grz..1.le rette di due corde ab e cd di una circonferenza di centro O si intersecano in un punto E esterno alla circonferenza in modo che la retta EO sia bisettrice dell'angolo AEC. dimostrare che le corde AB e CD sono congruenti. Secondo problema: determinare il luogo dei punti medi delle corde di una stessa circonferenza, congruenti a una corda data. Terzo problema: dimostrare che il luogo dei punti medi delle corde di una circonferenza ...
Sia V lo spazio vettoriale numerico di dimensione 3 sul campo relae e siano f e g due qualunque endomorfismi di V. Si consideri il sottoinsieme di V:
$ X=( ( v di V : f(v)=g(v) ) ) $
a) Provare che kerf può avere dimensione 1
b) Provare che X è un sottospazio di V
Avevo pensato di risolvere così:
a) Si ha che : $dimV=dimKerf+dimImf$. Dunque:
3=dimKerf+dimImf.
Quindi il Kerf può avere dimensione 1 se e solo se Imf ha dimensione 2, quindi affinchè ciò sia possibile, le immagini di due vettori di una base ...
Nello spazio vettoriale euclideo $R^3$, munito del prodotto scalare standard, provare che il sottoinsieme:
$W={(a,b,c) ''in'' R^3:<a+b-c=0>}$
1) dire se è sottospazio di $R^3$
Sì, è sottospazio di $R^3$ poichè $c$ è combinazione lineare di $a+b$
2) Determinare la dimensione.
$Dim=2$
3)Esibire una base.
$B=L((1,1,2),(0,1,1))$
Va bene secondo voi?
Salve
Devo trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio $ V={L(1,1,2,1),(2,2,1,2)} $di $R^4$ , mi aspetto 2 equazioni, metto in matrice:
e impongo che il rango non sia massimo(cioè minore di 3)
$ ( ( 1 , 1, 2, 1),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $
Con Gauss :
$R_1=xR_1$:$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $ :$R_3=R_1-R_3$---->$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1= 2R_1/x$----->$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $$R_2=R_1-R_2$------>$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1=R_1/2$-----> $( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$
Ora questa matrice non si può considerare ridotta ...
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