Esercizio forma bilineare
Si consideri la forma bilineare $g:RR^4xRR^4->RR$ di matrice $((2,1,1,0),(1,-1,-1,-2),(1,-1,0,-1),(0,-2,-1,-2))$ nella base canonica.
Esibire la segnatura di $g$ esibendo una base ortogonale.
Significa innanzitutto trovare una matrice ortogonale $P$ tale che $D=P^tAP$ con $D$ matrice diagonale.
Ma come trovo la base ortogonale?
Esibire la segnatura di $g$ esibendo una base ortogonale.
Significa innanzitutto trovare una matrice ortogonale $P$ tale che $D=P^tAP$ con $D$ matrice diagonale.
Ma come trovo la base ortogonale?
Risposte
Considera un vettore non isotropo di una base di $RR^4$ (sarà più semplice operare con la base canonica!) allora sai che $RR^4= \oplus ^(\bot)$.
Determina una base di $^(\bot)$,diciamo $v_1,v_2,v_3$. Scegli un vettore tra questi non isotropo, supponiamo sia $v_1$, allora sai che $^(\bot) = \oplus ^(\bot)$ ed equivalentemente $RR^4 = \oplus \oplus ^(\bot)$...
Iterando il ragionamento otterrai 4 vettori ortogonali tra loro rispetto a $g$.
Determina una base di $
Iterando il ragionamento otterrai 4 vettori ortogonali tra loro rispetto a $g$.
$RR^4=o+^(_|_)$ ed $e_1$ non è isotropo perchè $g(e_1,e_1)=2$.
$^(_|_)=o+^(_|_)$, $e_2$ non è isotropo perchè $g(e_2,e_2)=-1$.
$^(_|_)=o+^(_|_)$, $e_4$ non è isotropo perchè $g(e_4,e_4)=-2$.
$^(_|_)=$ ma $e_3$ è isotropo perchè $g(e_3,e_3)=0$. Quindi chi posso scegliere al posto di $e_3$?
$
$
$
Non ho controllato i calcoli... ma io partirei scrivendo per esteso come opera $g$...
Chi lo ha detto che $e_2$ è un vettore di $^(\bot)$, l'hai provato? O lo stai dando per scontato?
Il nostro spazio vettoriale $^(\bot)= {v in RR^4 | g(v,e_1)=0}$... non ti resta che determinare una sua base... e così via.
Chi lo ha detto che $e_2$ è un vettore di $
Il nostro spazio vettoriale $
Allora, parto dal considerare $RR^4=<1,0,0,0>o+<1,0,0,0>^(_|_)$.
$<1,0,0,0>^(_|_)=<(1,-2,0,0),(1,0,-2,0),(0,0,0,1)>$.
Effettivamente $g(((1,0,0,0)) , ((0,0,0,1)))=0$ quindi come primi due vettori della base ortogonale posso scegliere proprio $(1,0,0,0)$ e $(0,0,0,1)$.
$<0,0,0,1>^(_|_)=<(1,0,0,0),(0,1,-2,0),(0,0,-2,1)>$.
Ma di questi tre vettori nessuno è ortogonale a $(1,0,0,0)$. Quindi come procedo?
$<1,0,0,0>^(_|_)=<(1,-2,0,0),(1,0,-2,0),(0,0,0,1)>$.
Effettivamente $g(((1,0,0,0)) , ((0,0,0,1)))=0$ quindi come primi due vettori della base ortogonale posso scegliere proprio $(1,0,0,0)$ e $(0,0,0,1)$.
$<0,0,0,1>^(_|_)=<(1,0,0,0),(0,1,-2,0),(0,0,-2,1)>$.
Ma di questi tre vettori nessuno è ortogonale a $(1,0,0,0)$. Quindi come procedo?
ti sei assicurato che $e_4$ sia non isotropo?
Purtroppo oggi sono di fretta e non riesco a controllare, se incontri ancora difficoltà domani proverò a mostrarti passo passo la risoluzione.
Attenzione però quando determini $^(\bot)$ devi imporre tu l'ortogonalità con $e_1$, oltre che con $e_4$ (per far ciò basta prendere un generico vettore di $^(\bot)$ ed imporre l'ortogonalità con $e_4$)... in questo modo ottieni uno spazio vettoriale di dim 2, infatti.
Purtroppo oggi sono di fretta e non riesco a controllare, se incontri ancora difficoltà domani proverò a mostrarti passo passo la risoluzione.
Attenzione però quando determini $
Hai ragione. Ho determinato una base ortogonale:
$v_1=(1,0,0,0),v_2=(0,0,0,1),v_3=(1,2,-4,0),v_4=(4,-2,-6,5)$.
Inoltre $g(v_1,v_1)=2,g(v_2,v_2)=-2,g(v_3,v_3)=10,g(v_4,v_4)=-10$.
Quindi la segnatura di g è $(2,2)$.
Corretto?
$v_1=(1,0,0,0),v_2=(0,0,0,1),v_3=(1,2,-4,0),v_4=(4,-2,-6,5)$.
Inoltre $g(v_1,v_1)=2,g(v_2,v_2)=-2,g(v_3,v_3)=10,g(v_4,v_4)=-10$.
Quindi la segnatura di g è $(2,2)$.
Corretto?
Determinare la dimensione dei sottospazi isotropi massimali; esistono due sottospazi isotropi massimali complementari tra loro? se si, scriverne delle basi e la matrice di g corrispondente.
Normalizzo la base ortogonale precedentemente trovata ottenendo una base ortonormale:
$w_1=(1/sqrt(2),0,0,0),w_2=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0),w_3=(0,0,0,1/sqrt(2)),w_4=(4/sqrt(10),-2/sqrt(10),-6/sqrt(10),5/sqrt(10))$.
In questa base, g ha matrice $Diag(1,1,-1,-1)$.
Prendo allora ${w1+w3,w2+w4}$ ed ho ottenuto una base di un sottospazio isotropo massimale.
Come faccio a sapere se esistono due sottospazi isotropi massimali complementari tra loro?
Normalizzo la base ortogonale precedentemente trovata ottenendo una base ortonormale:
$w_1=(1/sqrt(2),0,0,0),w_2=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0),w_3=(0,0,0,1/sqrt(2)),w_4=(4/sqrt(10),-2/sqrt(10),-6/sqrt(10),5/sqrt(10))$.
In questa base, g ha matrice $Diag(1,1,-1,-1)$.
Prendo allora ${w1+w3,w2+w4}$ ed ho ottenuto una base di un sottospazio isotropo massimale.
Come faccio a sapere se esistono due sottospazi isotropi massimali complementari tra loro?
SOLUZIONE:
Primo sottospazio:
$U=$.
Secondo sottospazio:
$W=$.
Chiaramente sono entrambi isotropi e massimali, mostro che sono sempre in somma diretta.
Essendo ${v1,v2,v3,v4}$ base ortonormale di V, segue l'indipendenza lineare, ovvero $αv1+βv2+γv3+δv4=0⇒α=β=γ=δ=0$.
Verifico l'indipendenza dei quattro generatori:
$α(v1+v3)+β(v2+v4)+γ(v1-v3)+δ(v2-v4)=0⇒v1(α+γ)+v2(β+δ)+v3(α-γ)+v4(β-δ)=0$.
Per l'indipendenza lineare dei quattro vettori di base segue $α+γ=β+δ=α-γ=β-δ=0 da cui segue α=β=γ=δ=0$.
I due sottospazi sono dunque complementari.
Determinare se $RR^4$ contiene piani iperbolici; esistono due piani iperbolici tra loro ortogonali?
Se V contiene piani iperbolici questi sono i W tali che esiste U sottospazio di W tale che $U^(_|_)=U$.
Ma come posso determinare questi piani?
Primo sottospazio:
$U=
Secondo sottospazio:
$W=
Chiaramente sono entrambi isotropi e massimali, mostro che sono sempre in somma diretta.
Essendo ${v1,v2,v3,v4}$ base ortonormale di V, segue l'indipendenza lineare, ovvero $αv1+βv2+γv3+δv4=0⇒α=β=γ=δ=0$.
Verifico l'indipendenza dei quattro generatori:
$α(v1+v3)+β(v2+v4)+γ(v1-v3)+δ(v2-v4)=0⇒v1(α+γ)+v2(β+δ)+v3(α-γ)+v4(β-δ)=0$.
Per l'indipendenza lineare dei quattro vettori di base segue $α+γ=β+δ=α-γ=β-δ=0 da cui segue α=β=γ=δ=0$.
I due sottospazi sono dunque complementari.
Determinare se $RR^4$ contiene piani iperbolici; esistono due piani iperbolici tra loro ortogonali?
Se V contiene piani iperbolici questi sono i W tali che esiste U sottospazio di W tale che $U^(_|_)=U$.
Ma come posso determinare questi piani?
SOLUZIONE:
Scelgo $u=(1/sqrt(2),0,0,1/sqrt(2))$ isotropo e $v=(1,0,0,0)$ non isotropo.
Impongo $g(u,v)=1$ da cui scalo $v=(1/sqrt(2),0,0,0)$.
Ora definisco $v_1=u$ e $u_1=v-g(v,v)/2u=(sqrt(2)/4,0,0,-sqrt(2)/4)$.
Ripeto per un secondo vettore isotropo $u=(sqrt(10)/2,0,-sqrt(10),sqrt(10)/2)$ e per uno non isotropo $v=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0)$.
Impongo $g(u,v)=1$ da cui scalo $v=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0)$.
Ora definisco $v_1=u$ e $u_1=v-g(v,v)/2u=(-3sqrt(10)/20,sqrt(10)/5,sqrt(10)/10,-sqrt(10)/4)$.
Primo piano iperbolico: $$.
Secondo piano iperbolico: $$.
Confermate?
Per quanto riguarda l'esistenza di due piani iperbolici ortagonali la risposta è si.
Infatti usando la base ${v_1,u_1,v_2,u_2}$ si ottiene la matrice $((0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$.
Quindi i due piani sono ortogonali.
Scelgo $u=(1/sqrt(2),0,0,1/sqrt(2))$ isotropo e $v=(1,0,0,0)$ non isotropo.
Impongo $g(u,v)=1$ da cui scalo $v=(1/sqrt(2),0,0,0)$.
Ora definisco $v_1=u$ e $u_1=v-g(v,v)/2u=(sqrt(2)/4,0,0,-sqrt(2)/4)$.
Ripeto per un secondo vettore isotropo $u=(sqrt(10)/2,0,-sqrt(10),sqrt(10)/2)$ e per uno non isotropo $v=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0)$.
Impongo $g(u,v)=1$ da cui scalo $v=(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-4/sqrt(10),0)$.
Ora definisco $v_1=u$ e $u_1=v-g(v,v)/2u=(-3sqrt(10)/20,sqrt(10)/5,sqrt(10)/10,-sqrt(10)/4)$.
Primo piano iperbolico: $
Secondo piano iperbolico: $
Confermate?
Per quanto riguarda l'esistenza di due piani iperbolici ortagonali la risposta è si.
Infatti usando la base ${v_1,u_1,v_2,u_2}$ si ottiene la matrice $((0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$.
Quindi i due piani sono ortogonali.
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