Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Cari ragazzi mi vien chiesto di calcolare la rototraslazione ottenuta componendo la rotazione di asse z ed ampiezza $ 30° $ e la traslazione di vettore con componenti $ (0,0,-2) $ . Ho deciso di procedere in questo modo - Costruisco in primi la matrice associata alla rotazione che sarà
$ ( ( sqrt(3)/2 , -1/2 , 0 ),( 1/2 , sqrt(3)/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ dunque la rotazione sarà rappresentata dalle seguenti equazioni :
$ { ( bar (x) = sqrt(3)/2 x -1/2 y ),( bar (y)= 1/2 x +sqrt(3)/2 y ),( bar (z)=z ):} $ a tal punto considerando la traslazione l'equazione diventerà :
...
1)Sia $T=[(x,y) di R^2 : -1<=x<=1;-1<=y<=1]$. e sia B la famiglia di parti di R^2 costituita da T e dai dischi aperti di $R^2$ che non incontrano T; sappiamo che B è una base di una topologia A di R^2.
a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$
b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso?
c) lo stesso spazio è compatto?
d) lo stesso spazio è metrizzabile?
e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui ...
ciao a tutti!
Sto risolvendo un esercizio lunghissimo, e mi sono bloccato proprio all'ultimo punto:
cito il testo:
Nello spazio si considerino il punto $O = (0,0,0)$ e la retta $r$ per i punti $A = (1,2,3) , B = (3,2,1)$.
la richiesta è:
scrivere un'equazione di UN piano per l'origine e perpendicolare a $r$.
Il problema è che nel punto due c'era una richiesta analoga, ma anzichè l'equazione di UN piano chiedeva quella del piano Pigreco. (Trovata applicando ...
Esercizio: Assegnata la curva $alpha$ di $RR^3$ data da $alpha(t) = ( 1 , (1 + t)/2 , (1 - t^2)/t )$,
determinare i punti di flesso, curvatura e torsione.
Svolgimento:
La curva $alpha$ è regolare; infatti $alpha'(t) != (0,0,0)$ , $AA t$. Calcolando esplicitamente:
$d/(dt) alpha (t) = alpha'(t) = (0 , 1/2 , - (t^2 + 1)/t^2)$
$d/(dt) alpha ' (t) = alpha''(t) = (0 , 0 , 2/t^3)$
Notorio che $(alpha' ^^ alpha'')(t) != 0$ (*) se e solo se $alpha(t)$ è un punto non di flesso. Poiché la (*) è verificata per ogni valore di $t != 0$ , la curva, laddove ...
Il professore di teoria dei sistemi ci ha introdotto la seguente (e ben nota per un controllista) matrice, che ha chiamato matrice polinomiale di ordine m:
$p(A)=a_m*A^m+...+a_0*I$
Ad ogni nuova definizione sono solito andare a cercarla su internet di modo da definirla nel modo piu' formale possibile.
E mi sono accorto che di una matrice con tale nome non vi e' traccia.
Qualcuno sa riportarmi o indicarmi un sito dove posso trovare una definizione di matrice polinomiale?
Grazie a tutti delle rispote ...
salve ragazzi, sono alle prese con l' orale di geometria.E mi serve una grossa mano per esercizi teorici a cui non riesco ad arrivare anche avendo studiato le dimostrazioni.Magari mi potete dare un imput, una mano...spiegare quale teorema utilizzare e perchè!..
Il primo esercizio proposto è:
Sia V4 uno spazio vettoriale su R, e $B=(e1,e2,e3,e4)$ (credo si intenda la base naturale).
V4 è isomorfo a $R^4$, stabilire se l affermazione è vera e in ogni caso motivare la ...
su wikipedia leggo che una matrice di dimensione infinita puo' essere ottenuta tramite la generalizzazione di concetto di matrice a dimensione finita nel seguente modo
$A : (R , C) \to V$
con
R e C spazio degli indici (quindi presumibilmente $ \mathbb Z$ o $\mathbb N$ )
V spazio degli elementi (banalmente puo' essere $\mathbb R$ )
quello che mi chiedo e': e' possibile utilizzare questa definizione per generalizzare il concetto di applicazione lineare fra due spazi ...
Per favore mi date una definizione di sottoinsiemi cofiniti?
S è un sottoinsieme cofinito di A (A è un'insieme) se contiene tutti gli elementi di A tranne un numero finito.
e' giusta come definizione?
1)Sia $A_(nat)$ la topologia naturale di $R^2$. Se da $A_(nat)$ togliamo gli aperti propri contenenti (0,0) otteniamo una famiglia di parti di $R^2$ che indicheremo con $A$.
a)Provare che $A$ è una topologia per $R^2$.
b)Studiare connessione e compattezza.
c)Esibire un sottospazio di $R^2$ sconnesso in $A_(nat)$ ma connesso in $A$.
d)Esibire una successione convergente in ...
Buon pomeriggio.
Non riesco a comprendere bene il meccanismo di rappresentazione cartesiana di un sottospazio...Faccio un esempio:
$W= (0,1,1,0),(-1,2,1,0)$
I due vettori sono indipendenti per cui proseguo scrivendo la matrice:
A= $ ( ( x , y , z , t ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( -1 , 2 , 1 , 0 ) ) $
Come continuo? Nel senso, so che devo considerare delle sottomatrici 3x3 in questo caso,ma la mia domanda è: tra le tante sottomatrici quale devo considerare?
Grazie..
Ciao a tutti!
Scusate ma mi sto sbattendo con un esercizio da un po' e non riesco a venirne a capo..
Trovare i vettori u che formano un angolo di 60° con il vettore v = (2,1,-1) e risultano perpendicolari al vettore w = (0,-1,2).
Leggo (e traduco liberamente) dal Do Carmo, "Differential Forms and applications", Springer:
Data una $k$-forma $\omega$ in $RR^n$ si definisce a partire da $omega$ una $(n-k)$-forma $star omega$ ponendo
$star (dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} wedge ldots wedge dx_{i_k}) = (-1)^{|sigma|}(dx_{j_1} \wedge dx_{j_2} wedge ldots wedge dx_{j_{n-k}})$ e estendendo poi per linearità; nella riga precedente, si intende $i_1 < i_2 < ldots <i_k$, $j_1 < ldots < j_{n-k}$, dove $(i_1, i_2, ldots ,i_k, j_1, ldots , j_{n-k})$ è una permutazione di $(1,2, ldots , n)$ e $|sigma|$ è il suo ...
ciao a tutti!
ho un problema con la discussione di un sistema lineare, vi posto subito il quesito:
Discutere al variare di $k$ il sistema lineare $S(x,y,z) = (k^2 , k , k) $
Dov'è l'inganno? Io intuitivamente avrei messo a sistema, il problema è che non ho incognite (x, y e z) bensì avrei una cosa del tipo: $0=k^2$
$0=k$
$0=k$
ovviamente il tutto sarebbe a sistema... ma che senso ha??
Grazie mille in anticipo per i vostri aiuti!
Siano $A(a1,a2)$ e $B(b1,b2)$ due vettori in $RR^2$. Provare la relazione $a1b2-a2b1=||A|| ||B||senO$ dove $O$ è l'angolo formato dai due vettori.
So che questo esercizio sarebbe risolto con la nozione di prodotto vettoriale ma è richiesto uno svolgimento più elementare. Ho provato a ragionare partendo dalla relazione $|AB|=||A|| ||B||cosO$ ma non arrivo da nessuna parte. Suggerimenti? Grazie
terza domanda: come si trova un piano contentente la retta di equazioni parametriche ${((x=t),(y=1+t),(z=-2+t))}$ e il punto $A=(0,2,3)$? quali sono le condizioni da imporre? prendo un vettore direttore dalla retta e l'altro dalla differenza tra il vettore OA e il vettore OP con P un punto appartenente alla retta ma non vorrei sbagliare.
Per completare uno spazio metrico non completo $X$ considero $\overline{X}$ formato dalle classi si equivalenza $[\{s_n\}]$ delle successioni di Cauchy in $X$ con $\{x_n\}\sim \{y_n\}$ se $lim_{n->\infty}d(x_n, y_n)=0$. Ho il completamento $\overline{X}$. Devo dimostrare che è effettivamente un completamento, quindi:
$1.$ $\overline{X}$ è unico a meno di isometrie.
$2.$ $X$ e $\overline{X}$ sono ...
1) Nel piano euclideo si consideri un ellisse ed una circonferenza. Sia poi X il sottospazio unione disgiunta dell'ellisse e la circonfereza; Y e Z i sottospazi ottenuti intersecando l'ellisse e la circonferenza rispettivamente in due punti e in quattro punti.
a)Studiare X,Y,Z rispetto a connessione e compattezza
b)Provare che gli insiemi non sono a coppie omeomorfe
c)Determinare la frontiera di C in Y
a) Allora l'ellisse e la circonferenza sono connesse poichè connesse per archi. Entrambe ...
Cari ragazzi vi propongo ( ancora ) un esercizio a riguardo della ricerca delle simmetrie di un insieme $ X $ che nel qual caso è un triangolo scaleno . Facendo delle semplici considerazioni credo che l'unica simmetria possibile sia proprio l'identità , c'è poco da fare . Difatti comunque si considera uno degli assi dei suoi lati e se ne voglia considerare la simmetria rispetto allo stesso asse , ovviamente la simmetria conserva le distanze , nonché i punti medi , pertanto il ...
se ho uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e prendo una base ${v_1,...,v_n}$ di $V$,questa base puo' cambiare se cambia $K$?
questa è una domanda che mi ha fatto la prof e mi ha messo abbastanza in crisi,perchè pensavo che una base di un spazio fosse in relazione solo con gli elementi di uno spazio e sto tuttora cercando una risposta...
Se ad esempio prendo $V=CC$ e $K=CC$ allora posso prendere come base ...
Salve, ho iniziato il mio studio sulle coniche. Ho trovato l'esercizio di cui allego un'immagine, vorrei risolverlo con il metodo canonico, quali sono i passaggi da svolgere nello studio delle coniche con il metodo canonico? Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
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