Geometria e Algebra Lineare

Salve a tutti; in questo periodo ho a che fare con econometria e il materiale su cui studio dà per scontato una conoscenza abbastanza profonda di algebra lineare (come è giusto che sia). Sto recuperando da questo punto di vista seguendo vari tutoraggi su youtube, fatto sta che spesso e volentieri non riesco a trovare delle risposte esaustive alle mie domande. La mia domanda riguarda le derivate di funzioni espresse in forma matriciale. Nel particolare stavo proprio ora studiando la derivazione ...

Di una quadrica sappiamo che la parte reale propria è sconnessa e i punti impropri di Q non sono allineati. Si dica Q che quadrica è. Allora, la parte reale e propria di Q è sconnessa , quindi Q può essere : - due piani paralleli; - un cilindro iperbolico , - iperboloide ellittico. Ora, l'informazione che dovrei utilizzare è quella che contiene punti impropri non allineati. Visto che contiene almeno tre punti impropri non allineati, vuol dire che la quadrica è a centro, quindi può essere può ...

Cari ragazzi mi vien chiesto di calcolare la rototraslazione ottenuta componendo la rotazione di asse z ed ampiezza $ 30° $ e la traslazione di vettore con componenti $ (0,0,-2) $ . Ho deciso di procedere in questo modo - Costruisco in primi la matrice associata alla rotazione che sarà $ ( ( sqrt(3)/2 , -1/2 , 0 ),( 1/2 , sqrt(3)/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ dunque la rotazione sarà rappresentata dalle seguenti equazioni : $ { ( bar (x) = sqrt(3)/2 x -1/2 y ),( bar (y)= 1/2 x +sqrt(3)/2 y ),( bar (z)=z ):} $ a tal punto considerando la traslazione l'equazione diventerà : ...

1)Sia $T=[(x,y) di R^2 : -1<=x<=1;-1<=y<=1]$. e sia B la famiglia di parti di R^2 costituita da T e dai dischi aperti di $R^2$ che non incontrano T; sappiamo che B è una base di una topologia A di R^2. a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$ b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso? c) lo stesso spazio è compatto? d) lo stesso spazio è metrizzabile? e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui ...

ciao a tutti! Sto risolvendo un esercizio lunghissimo, e mi sono bloccato proprio all'ultimo punto: cito il testo: Nello spazio si considerino il punto $O = (0,0,0)$ e la retta $r$ per i punti $A = (1,2,3) , B = (3,2,1)$. la richiesta è: scrivere un'equazione di UN piano per l'origine e perpendicolare a $r$. Il problema è che nel punto due c'era una richiesta analoga, ma anzichè l'equazione di UN piano chiedeva quella del piano Pigreco. (Trovata applicando ...

Esercizio: Assegnata la curva $alpha$ di $RR^3$ data da $alpha(t) = ( 1 , (1 + t)/2 , (1 - t^2)/t )$, determinare i punti di flesso, curvatura e torsione. Svolgimento: La curva $alpha$ è regolare; infatti $alpha'(t) != (0,0,0)$ , $AA t$. Calcolando esplicitamente: $d/(dt) alpha (t) = alpha'(t) = (0 , 1/2 , - (t^2 + 1)/t^2)$ $d/(dt) alpha ' (t) = alpha''(t) = (0 , 0 , 2/t^3)$ Notorio che $(alpha' ^^ alpha'')(t) != 0$ (*) se e solo se $alpha(t)$ è un punto non di flesso. Poiché la (*) è verificata per ogni valore di $t != 0$ , la curva, laddove ...

Il professore di teoria dei sistemi ci ha introdotto la seguente (e ben nota per un controllista) matrice, che ha chiamato matrice polinomiale di ordine m: $p(A)=a_m*A^m+...+a_0*I$ Ad ogni nuova definizione sono solito andare a cercarla su internet di modo da definirla nel modo piu' formale possibile. E mi sono accorto che di una matrice con tale nome non vi e' traccia. Qualcuno sa riportarmi o indicarmi un sito dove posso trovare una definizione di matrice polinomiale? Grazie a tutti delle rispote ...

salve ragazzi, sono alle prese con l' orale di geometria.E mi serve una grossa mano per esercizi teorici a cui non riesco ad arrivare anche avendo studiato le dimostrazioni.Magari mi potete dare un imput, una mano...spiegare quale teorema utilizzare e perchè!.. Il primo esercizio proposto è: Sia V4 uno spazio vettoriale su R, e $B=(e1,e2,e3,e4)$ (credo si intenda la base naturale). V4 è isomorfo a $R^4$, stabilire se l affermazione è vera e in ogni caso motivare la ...

su wikipedia leggo che una matrice di dimensione infinita puo' essere ottenuta tramite la generalizzazione di concetto di matrice a dimensione finita nel seguente modo $A : (R , C) \to V$ con R e C spazio degli indici (quindi presumibilmente $ \mathbb Z$ o $\mathbb N$ ) V spazio degli elementi (banalmente puo' essere $\mathbb R$ ) quello che mi chiedo e': e' possibile utilizzare questa definizione per generalizzare il concetto di applicazione lineare fra due spazi ...

Per favore mi date una definizione di sottoinsiemi cofiniti? S è un sottoinsieme cofinito di A (A è un'insieme) se contiene tutti gli elementi di A tranne un numero finito. e' giusta come definizione?

1)Sia $A_(nat)$ la topologia naturale di $R^2$. Se da $A_(nat)$ togliamo gli aperti propri contenenti (0,0) otteniamo una famiglia di parti di $R^2$ che indicheremo con $A$. a)Provare che $A$ è una topologia per $R^2$. b)Studiare connessione e compattezza. c)Esibire un sottospazio di $R^2$ sconnesso in $A_(nat)$ ma connesso in $A$. d)Esibire una successione convergente in ...

Buon pomeriggio. Non riesco a comprendere bene il meccanismo di rappresentazione cartesiana di un sottospazio...Faccio un esempio: $W= (0,1,1,0),(-1,2,1,0)$ I due vettori sono indipendenti per cui proseguo scrivendo la matrice: A= $ ( ( x , y , z , t ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( -1 , 2 , 1 , 0 ) ) $ Come continuo? Nel senso, so che devo considerare delle sottomatrici 3x3 in questo caso,ma la mia domanda è: tra le tante sottomatrici quale devo considerare? Grazie..

Ciao a tutti! Scusate ma mi sto sbattendo con un esercizio da un po' e non riesco a venirne a capo.. Trovare i vettori u che formano un angolo di 60° con il vettore v = (2,1,-1) e risultano perpendicolari al vettore w = (0,-1,2).

Leggo (e traduco liberamente) dal Do Carmo, "Differential Forms and applications", Springer: Data una $k$-forma $\omega$ in $RR^n$ si definisce a partire da $omega$ una $(n-k)$-forma $star omega$ ponendo $star (dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} wedge ldots wedge dx_{i_k}) = (-1)^{|sigma|}(dx_{j_1} \wedge dx_{j_2} wedge ldots wedge dx_{j_{n-k}})$ e estendendo poi per linearità; nella riga precedente, si intende $i_1 < i_2 < ldots <i_k$, $j_1 < ldots < j_{n-k}$, dove $(i_1, i_2, ldots ,i_k, j_1, ldots , j_{n-k})$ è una permutazione di $(1,2, ldots , n)$ e $|sigma|$ è il suo ...

ciao a tutti! ho un problema con la discussione di un sistema lineare, vi posto subito il quesito: Discutere al variare di $k$ il sistema lineare $S(x,y,z) = (k^2 , k , k) $ Dov'è l'inganno? Io intuitivamente avrei messo a sistema, il problema è che non ho incognite (x, y e z) bensì avrei una cosa del tipo: $0=k^2$ $0=k$ $0=k$ ovviamente il tutto sarebbe a sistema... ma che senso ha?? Grazie mille in anticipo per i vostri aiuti!

Siano $A(a1,a2)$ e $B(b1,b2)$ due vettori in $RR^2$. Provare la relazione $a1b2-a2b1=||A|| ||B||senO$ dove $O$ è l'angolo formato dai due vettori. So che questo esercizio sarebbe risolto con la nozione di prodotto vettoriale ma è richiesto uno svolgimento più elementare. Ho provato a ragionare partendo dalla relazione $|AB|=||A|| ||B||cosO$ ma non arrivo da nessuna parte. Suggerimenti? Grazie

terza domanda: come si trova un piano contentente la retta di equazioni parametriche ${((x=t),(y=1+t),(z=-2+t))}$ e il punto $A=(0,2,3)$? quali sono le condizioni da imporre? prendo un vettore direttore dalla retta e l'altro dalla differenza tra il vettore OA e il vettore OP con P un punto appartenente alla retta ma non vorrei sbagliare.

Per completare uno spazio metrico non completo $X$ considero $\overline{X}$ formato dalle classi si equivalenza $[\{s_n\}]$ delle successioni di Cauchy in $X$ con $\{x_n\}\sim \{y_n\}$ se $lim_{n->\infty}d(x_n, y_n)=0$. Ho il completamento $\overline{X}$. Devo dimostrare che è effettivamente un completamento, quindi: $1.$ $\overline{X}$ è unico a meno di isometrie. $2.$ $X$ e $\overline{X}$ sono ...

1) Nel piano euclideo si consideri un ellisse ed una circonferenza. Sia poi X il sottospazio unione disgiunta dell'ellisse e la circonfereza; Y e Z i sottospazi ottenuti intersecando l'ellisse e la circonferenza rispettivamente in due punti e in quattro punti. a)Studiare X,Y,Z rispetto a connessione e compattezza b)Provare che gli insiemi non sono a coppie omeomorfe c)Determinare la frontiera di C in Y a) Allora l'ellisse e la circonferenza sono connesse poichè connesse per archi. Entrambe ...

Cari ragazzi vi propongo ( ancora ) un esercizio a riguardo della ricerca delle simmetrie di un insieme $ X $ che nel qual caso è un triangolo scaleno . Facendo delle semplici considerazioni credo che l'unica simmetria possibile sia proprio l'identità , c'è poco da fare . Difatti comunque si considera uno degli assi dei suoi lati e se ne voglia considerare la simmetria rispetto allo stesso asse , ovviamente la simmetria conserva le distanze , nonché i punti medi , pertanto il ...