Aiuto per l orale di geometria.
salve ragazzi, sono alle prese con l' orale di geometria.E mi serve una grossa mano per esercizi teorici a cui non riesco ad arrivare anche avendo studiato le dimostrazioni.Magari mi potete dare un imput, una mano...spiegare quale teorema utilizzare e perchè!..
Il primo esercizio proposto è:
Sia V4 uno spazio vettoriale su R, e $B=(e1,e2,e3,e4)$ (credo si intenda la base naturale).
V4 è isomorfo a $R^4$, stabilire se l affermazione è vera e in ogni caso motivare la risposta.
Grazie per l eventuale aiuto.
Il primo esercizio proposto è:
Sia V4 uno spazio vettoriale su R, e $B=(e1,e2,e3,e4)$ (credo si intenda la base naturale).
V4 è isomorfo a $R^4$, stabilire se l affermazione è vera e in ogni caso motivare la risposta.
Grazie per l eventuale aiuto.
Risposte
Beh, prova a pensarci. Formula qualche pensiero intorno all'esercizio.
"Seneca":
Beh, prova a pensarci. Formula qualche pensiero intorno all'esercizio.
Bene, io ho provato a risolvere il problema in questo modo:
Preso in considerazione il nostro spazio vettoriale V4 e la sua base naturale (o canonica) si può definire un applicazione $xb:V4->R^4$ tale che per ogni $uinV$ ,$xb(u)=(x1,x2,x3,x4)$ se e solo se $u=sum_(i = 1)^(4) x iei$ dove con ei indichiamo i vettori della base.Si deduce da varie osservazioni che l applicazione xb è un isomorfismo e dunque i due spazi vettoriali sono isomorfi.Concludiamo con l affermare che la risposta è vera.Ovviamente chiedo conferme.
Grazie
I vettori della base standard ti generano proprio tutto $ RR ^2 $ !
non riesco a seguirti...
Sai cosa è una base di uno spazio vettoriale ?
una famiglia di generatori linearmente indipendente...
La cosa è piuttosto semplice...
Preliminarmente: conosci il teorema che afferma che ogni spazio vettoriale ha una base?
E conosci il teorema di determinazione di un'applicazione lineare su una base?
Allora considera una base di $V_4$ ${ v_1 , v_2 , v_3 , v_4 }$. Esiste ed è unica l'applicazione lineare $f$ che fa il seguente servizio $f(v_i) = e_i$ , $AA i = 1, 2 , 3 , 4$.
Si verifica facilmente che l'immagine di $f$ ha dimensione $4$ , cioè è $RR^4$; per questioni dimensionali il nucleo deve avere dimensione $0$. Allora $f$ è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Preliminarmente: conosci il teorema che afferma che ogni spazio vettoriale ha una base?
E conosci il teorema di determinazione di un'applicazione lineare su una base?
Allora considera una base di $V_4$ ${ v_1 , v_2 , v_3 , v_4 }$. Esiste ed è unica l'applicazione lineare $f$ che fa il seguente servizio $f(v_i) = e_i$ , $AA i = 1, 2 , 3 , 4$.
Si verifica facilmente che l'immagine di $f$ ha dimensione $4$ , cioè è $RR^4$; per questioni dimensionali il nucleo deve avere dimensione $0$. Allora $f$ è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Grazie mille Seneca, nonostante abbia studiato i teoremi non riesco a combinarli per dimostrare alcune cose... 
ci vuole un pò di esercitazione.Comunque mi potresti dare una mano anche su questo ultimissimo esercizio e poi tolgo il disturbo..
Sia L un endomorfismo di V, e v,w due vettori:
se L(v)=5v e L(w)=3w allora v,w sono indipendenti?.. qui non ho idea da dove partire...
ci vuole un pò di esercitazione.Comunque mi potresti dare una mano anche su questo ultimissimo esercizio e poi tolgo il disturbo..Sia L un endomorfismo di V, e v,w due vettori:
se L(v)=5v e L(w)=3w allora v,w sono indipendenti?.. qui non ho idea da dove partire...
Autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Purché $v, w$ siano non nulli,
$L(v) = 5 v$ significa che $v in Aut (5)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $5$; mentre $L(w) = 3 w$ significa che $w in Aut (3)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $3$.
$v, w$ sono linearmente indipendenti per il risultato che ti ho citato.
Purché $v, w$ siano non nulli,
$L(v) = 5 v$ significa che $v in Aut (5)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $5$; mentre $L(w) = 3 w$ significa che $w in Aut (3)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $3$.
$v, w$ sono linearmente indipendenti per il risultato che ti ho citato.
Ma esiste un teorema che afferma questa cosa? perchè sul mio libro di testo non lo trovo...
Certo che esiste! Non voglio burlarmi di te...
Grazie mille Seneca , sul mio libro di testo di Corrado Zanella non c'è questa dimostrazione ma mi sono servito della rete e ho risolto i problemi anche se non capisco perchè il mio professore tratti esercizi di cui non abbiamo conoscenza adatte per la risoluzione.L'ultimissimo dubbio che ho e poi veramente scompaio è il seguente:
$pi=$$az+by+cz+d=0$ piano nello spazio,r:(x,y,z)=$(xp,yp,zp)+{(l,m,n)}$ retta;
Si deve dimostrare che:
(a,b,c) perpendicolare a $pi$ Mi sto scervellando da ore ma non riesco ad arrivare a nulla di buono, non so dove mettere le mani...
Grazie per l eventuale aiuto
$pi=$$az+by+cz+d=0$ piano nello spazio,r:(x,y,z)=$(xp,yp,zp)+{(l,m,n)}$ retta;
Si deve dimostrare che:
(a,b,c) perpendicolare a $pi$ Mi sto scervellando da ore ma non riesco ad arrivare a nulla di buono, non so dove mettere le mani...
Grazie per l eventuale aiuto
Il teorema sull'indipendenza lineare degli autovettori è molto importante, veramente...
Eh si , come ha detto Seneca , ti può servire nella diagonalizzazione per creare una base di autovettori !
Nonostante abbia letto la spiegazione non riesco a capire come devo fare per dimostrare quella cosa, non capisco nemmeno se sia vera o falsa e domani ho l esame
Come è andato l'esame ?
Prima ti ho scritti gli elementi di cui hai bisogno per poter rispondere alla domanda...
...E poi ti ho risposto:
Cosa non riesci a capire?
"Seneca":
Autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Purché $v, w$ siano non nulli,
$L(v) = 5 v$ significa che $v in Aut (5)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $5$; mentre $L(w) = 3 w$ significa che $w in Aut (3)$ , l'autospazio relativo all'autovalore $3$.
...E poi ti ho risposto:
"Seneca":
$v, w$ sono linearmente indipendenti per il risultato che ti ho citato.
Cosa non riesci a capire?
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