Esercizio di topologia; continuità e quadriche
1)Sia $T=[(x,y) di R^2 : -1<=x<=1;-1<=y<=1]$. e sia B la famiglia di parti di R^2 costituita da T e dai dischi aperti di $R^2$ che non incontrano T; sappiamo che B è una base di una topologia A di R^2.
a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$
b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso?
c) lo stesso spazio è compatto?
d) lo stesso spazio è metrizzabile?
e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui è inteso spazio topologico).
2) Sia $(R^2,A)$ lo spazio topologico dell'esercizio precedente. Dire se la funzione f di $R^2$ in sè definita ponendo f(x,y)=(2x,2y) è :
a) continua
b) aperta
3) Di una quadrica dello spazio proiettivo sappiamo che le sezioni piane non degeneri sono di tipo ellisse.
a) A quali tipi affini può appartenere Q?
b) C'è qualche proprietà topologica che può essere utilizzata per distinguere le varie Q?
c) Fissato un riferimento scegliere una possibile Q passante per l'origine e rappresentante il piano tangente ad essa in tale punto.
RISOLUZIONE:
a) Si tratta di confrontare le due topologie mediante la relazione di finezza; ovvero devo vedere se tutti gli aperti di una topologia sono contenuti negli aperti dell'altra; qualora valesse anche il viceversa mi troverei dinanzi a due topologie equivalenti.
La topologia A ha per base le unioni degli elementi di B, quindi gli aperti di A sono $R^2$, queste unioni e il vuoto; devo vedere dunque se i dischi aperti della topologia naturale sono contenuti in tali unioni. Sicuramente i dischi della topologia naturale che non incontrano il quadrato sono contenuti nelle unioni, ora devo vedere cosa accade per quelli che incontrano il quadrato; i dischi interni al quadrato sono contenuti in essi; tuttavia ce ne è almeno uno, quello che circoscrive il quadrato che non è contenuto in alcun aperto di A; quindi sicuramente A non è più fine della naturale e quindi le due topologie sicuramente non sono equivalenti; allo stesso modoriesco a vedere che ogni aperto di A è contenuto in un disco, e quindi A è meno fine della naturale.
b) Lo spazio non è connesso, poichè ho che $R^2$ è unione di due aperti digiunti, T ed $R^2-T$=unione di dischi aperti èaperto.
c) Lo spazio non è compatto poichè non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito di B per esso.
d) Posso riccorrere al lemma di Uryshon secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Lo spazio non è $T_3$ poichè se prendo P all'interno del quadrato T, l'unico chiuso C che non contiene il punto P è $R^2-T$ e l'unico aperto contenente C è proprio $R^2$ che contiene P, quindi siamo di fronte ad uno spazio non regolare e quindi sicuramente non metrizzabile.
e) ci penso.....eccoti; forse ti ho beccata. devo prendere una successione che sia alternante o divergente nella topologia naturale e fare in modo che da un certo n in poi i piunti della successione siano contenuti tutti nello stesso introno=aperto. Prendo la successione alternante $(0,(-1)^n)$ tale successione è infatti alternante nel piano dotato di topologia naturale ma converge nella nuova poinche i termini (0,-1),(0,1) sono sempre contenuti nel quadrato T e quindi vale la definizione di limiti di successione.
2) a) e b) Una funzione è continua globalmente se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto; allora, se prendo il quadrato T, mi rendo conto che la sua controimmagine mediante $f^(-1)$ è un quadrato ma di lato dimezzato, quindi la funzione non è continua; non è neanche aperta poiche l'immagine di T mediante f è un quadrato di lato doppio che non è un aperto della mia topologia.
3) a) Poichè le sezioni piane non degeneri sono solo di tipo ellisse; la mia Q può essere un cilindro ellittico o un ellissoide.
b) si, l'ellissoide è connesso e compatto , mentre il cilindro ellittico è connesso ma non compatto.
c) Prendo un ellissoide che passi per l'origine ; in coordinate cartesiane tale ellisoide potrebbe essere (credo) di questo tipo $(x^2+y^2+(z-1)^2)=1$ che in coordinate omogenee assume la forma: $x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 -2x_3 x_4=0$
Scrivo la matrice associata che è:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $ ; poi moltiplico il vettore $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ per tale matrice e ottengo il vettore $(x_1,x_2,x_3-x_4,-x_3)$ moltiplicando per il vettore $(0,0,0,1)$ dovrei ottenere l'equazione del piano tangente all'ellissoide in questione nell'origine.
Si accettano commenti
a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$
b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso?
c) lo stesso spazio è compatto?
d) lo stesso spazio è metrizzabile?
e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui è inteso spazio topologico).
2) Sia $(R^2,A)$ lo spazio topologico dell'esercizio precedente. Dire se la funzione f di $R^2$ in sè definita ponendo f(x,y)=(2x,2y) è :
a) continua
b) aperta
3) Di una quadrica dello spazio proiettivo sappiamo che le sezioni piane non degeneri sono di tipo ellisse.
a) A quali tipi affini può appartenere Q?
b) C'è qualche proprietà topologica che può essere utilizzata per distinguere le varie Q?
c) Fissato un riferimento scegliere una possibile Q passante per l'origine e rappresentante il piano tangente ad essa in tale punto.
RISOLUZIONE:
a) Si tratta di confrontare le due topologie mediante la relazione di finezza; ovvero devo vedere se tutti gli aperti di una topologia sono contenuti negli aperti dell'altra; qualora valesse anche il viceversa mi troverei dinanzi a due topologie equivalenti.
La topologia A ha per base le unioni degli elementi di B, quindi gli aperti di A sono $R^2$, queste unioni e il vuoto; devo vedere dunque se i dischi aperti della topologia naturale sono contenuti in tali unioni. Sicuramente i dischi della topologia naturale che non incontrano il quadrato sono contenuti nelle unioni, ora devo vedere cosa accade per quelli che incontrano il quadrato; i dischi interni al quadrato sono contenuti in essi; tuttavia ce ne è almeno uno, quello che circoscrive il quadrato che non è contenuto in alcun aperto di A; quindi sicuramente A non è più fine della naturale e quindi le due topologie sicuramente non sono equivalenti; allo stesso modoriesco a vedere che ogni aperto di A è contenuto in un disco, e quindi A è meno fine della naturale.
b) Lo spazio non è connesso, poichè ho che $R^2$ è unione di due aperti digiunti, T ed $R^2-T$=unione di dischi aperti èaperto.
c) Lo spazio non è compatto poichè non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito di B per esso.
d) Posso riccorrere al lemma di Uryshon secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Lo spazio non è $T_3$ poichè se prendo P all'interno del quadrato T, l'unico chiuso C che non contiene il punto P è $R^2-T$ e l'unico aperto contenente C è proprio $R^2$ che contiene P, quindi siamo di fronte ad uno spazio non regolare e quindi sicuramente non metrizzabile.
e) ci penso.....eccoti; forse ti ho beccata. devo prendere una successione che sia alternante o divergente nella topologia naturale e fare in modo che da un certo n in poi i piunti della successione siano contenuti tutti nello stesso introno=aperto. Prendo la successione alternante $(0,(-1)^n)$ tale successione è infatti alternante nel piano dotato di topologia naturale ma converge nella nuova poinche i termini (0,-1),(0,1) sono sempre contenuti nel quadrato T e quindi vale la definizione di limiti di successione.
2) a) e b) Una funzione è continua globalmente se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto; allora, se prendo il quadrato T, mi rendo conto che la sua controimmagine mediante $f^(-1)$ è un quadrato ma di lato dimezzato, quindi la funzione non è continua; non è neanche aperta poiche l'immagine di T mediante f è un quadrato di lato doppio che non è un aperto della mia topologia.
3) a) Poichè le sezioni piane non degeneri sono solo di tipo ellisse; la mia Q può essere un cilindro ellittico o un ellissoide.
b) si, l'ellissoide è connesso e compatto , mentre il cilindro ellittico è connesso ma non compatto.
c) Prendo un ellissoide che passi per l'origine ; in coordinate cartesiane tale ellisoide potrebbe essere (credo) di questo tipo $(x^2+y^2+(z-1)^2)=1$ che in coordinate omogenee assume la forma: $x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 -2x_3 x_4=0$
Scrivo la matrice associata che è:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $ ; poi moltiplico il vettore $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ per tale matrice e ottengo il vettore $(x_1,x_2,x_3-x_4,-x_3)$ moltiplicando per il vettore $(0,0,0,1)$ dovrei ottenere l'equazione del piano tangente all'ellissoide in questione nell'origine.
Si accettano commenti
Risposte
So benissimo che non è corretto fare un up se non si superano le 24 ore dall'immissione del messaggio; tuttavia ho apportato notevoli modifiche alla risoluzione dell'esercizio (se qualcuno lo ha letto in precedenza può vedere benissimo che non mento; in particolare ho modificato il punto sulla separazione e quello sulla quadrica).
Se avete tempo, potete dare un occhiata alla risoluzione dell'esercizio; a breve ho l'esame e vorrei andare sicuro. Vi prego di rispondermi sia se la risoluzione dell'esercizio è corretta sia se ci sono degli errori o strafalcioni.
Se avete tempo, potete dare un occhiata alla risoluzione dell'esercizio; a breve ho l'esame e vorrei andare sicuro. Vi prego di rispondermi sia se la risoluzione dell'esercizio è corretta sia se ci sono degli errori o strafalcioni.
UP
Belli gli esercizi della profA Dragotti 
Mi sono fermato a leggere il punto 1.c perché lo trovo troppo generico: puoi essere più rigoroso?
Mi sono fermato a leggere il punto 1.c perché lo trovo troppo generico: puoi essere più rigoroso?
1.c.: Uno spazio topologico S è compatto se e soltanto se da ogni ricoprimento B di S riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito (si intende il numerod i elementi da prendere) per S. Ora, le uniche famiglie di aperti che posso estrarre da B sono $[T]$ e $U[B_p]_(p \int R_+)$. Ma nessuna delle due riesce a ricoprire S, in quanto nel primo caso mi mancherebbero tutti i punti di R^2-T, mentre nel secondo tutti i punti di T.
Spero che tu abbia sbagliato a scrivere perché l'hai sparata grossa! Correggi... 
Mi sa che allora non ho capito. So che uno spazio topologico è compatto se da ogni ricoprimento finito riesco ad estrarre un sottoricoprimento, dunque, se lo spazio fosse compatto, dovrei riuscire ad estrarre da B un sottoricoprimento finito, ossia un numero finito di aperti che ricopre interamente R, qui non ci riesco, ma non so come spiegarlo formalmente.
Forse hai le idee chiare ma le hai scritte male. 
Dato un ricoprimento per aperti \(\mathcal{R}\) di \((\mathbb{R}^2;\mathcal{A})\), esso contiene per cause di forza maggiore \(T\); resta così da studiare la compattezza del sottospazio \(\mathbb{R}^2\setminus T\)... da qui in poi è facile!
Da come l'hai scritto, sembra che \(T\) ricopra tutto \(\mathbb{R}^2\)!
Dato un ricoprimento per aperti \(\mathcal{R}\) di \((\mathbb{R}^2;\mathcal{A})\), esso contiene per cause di forza maggiore \(T\); resta così da studiare la compattezza del sottospazio \(\mathbb{R}^2\setminus T\)... da qui in poi è facile!
Da come l'hai scritto, sembra che \(T\) ricopra tutto \(\mathbb{R}^2\)!
Ah, ok, capito. E per il continuo dell'esercizio?
1.d Basta notare che non è manco uno spazio di Kolmogorov o \(T_0\). -_-
1.e A chi converge? Attento! 
Sull'esercizio \(2\) non ho nulla da ribattere, sul \(3\) rimando; se ti và bene?
1.e A chi converge?
Attento! Sull'esercizio \(2\) non ho nulla da ribattere, sul \(3\) rimando; se ti và bene?
Momento di riflessione...dove sbaglio?. Allora, j18eos, mi rivolgo a te, perchè mi hai già risposto in precedenza al messaggio. Voglio analizzare nuovamente la relazione di finezza solo relativamente al quadrato T. Il "Tallini" dice che una topologia è meno fine di un altra se ogni aperto della prima è contenuto nella seconda, e fin qui, dunque, mi troverei col risultato che abbiamo ottenuto. Ora la definizione che ho trovato su degli appunti dice che una topologia è meno fine di un altra se ogni aperto della prima è aperto della seconda. Adesso, qui allora le cose si complicano poichè il rettangolo T non è aperto , visto che ha come punti di frontiera in $R^2$ dotato della topologia naturale, tutti i punti del suo perimetro, bensì è chiuso e dunque le due topologie non sarebbero confrontabili.
D'altronde mi sembra che la definizione del Tallini non faccia una piega. Mi sai dare delle delucidazioni a riguardo, soprattutto in relazione anche ai tuoi studi a napoli? nel senso, dobbiamo usare la definizione del tallini?, quella che ho trovato su degli appunti mi sembra errata.
D'altronde mi sembra che la definizione del Tallini non faccia una piega. Mi sai dare delle delucidazioni a riguardo, soprattutto in relazione anche ai tuoi studi a napoli? nel senso, dobbiamo usare la definizione del tallini?, quella che ho trovato su degli appunti mi sembra errata.
Per rispondere alla tua domanda sulla successione che mi hai fatto, i punti limite sono tutti e soli i punti di T, giusto?
A parte che dal I ottobre sono a Trieste (cfr. questo post)... 
Siano \(S\neq\emptyset\), \(\mathcal{A}_i:i\in\{1;2\}\) delle topologie (per aperti) su \(S\); premesso che tali topologie sono confrontabili se l'una è insiemisticamente contenuta nell'altra, se \(\mathcal{A}_1\subset\mathcal{A}_2\) allora la topologia \(\mathcal{A}_1\) è più fine di \(\mathcal{A}_2\) in quanto ha meno aperti.
Da come riporti tu le definizioni non leggo discrepanze!
Tornando all'esercizio: \(T\in\mathcal{A}_{\mathrm{nat}}\)?
Infine, hai risposto bene all'ultima mia domanda.
Siano \(S\neq\emptyset\), \(\mathcal{A}_i:i\in\{1;2\}\) delle topologie (per aperti) su \(S\); premesso che tali topologie sono confrontabili se l'una è insiemisticamente contenuta nell'altra, se \(\mathcal{A}_1\subset\mathcal{A}_2\) allora la topologia \(\mathcal{A}_1\) è più fine di \(\mathcal{A}_2\) in quanto ha meno aperti.
Da come riporti tu le definizioni non leggo discrepanze!
Tornando all'esercizio: \(T\in\mathcal{A}_{\mathrm{nat}}\)?
Infine, hai risposto bene all'ultima mia domanda.
Auguri e complimenti, per la Sissa, non lo sapevo...
T è un aperto della topologia assegnata, ed esso è contenuto in un disco di raggio almeno maggiore di 1. Tale disco è un aperto della topologia natutale.
T è un aperto della topologia assegnata, ed esso è contenuto in un disco di raggio almeno maggiore di 1. Tale disco è un aperto della topologia natutale.
"biggest":Ho il Tallini sottomano ed ho verificato che fornisce la medesima definizione che ti ho scritto; quanto dici su \(T\) è vero, ma sul confronto delle topologie?
...Il "Tallini" dice che una topologia è meno fine di un altra se ogni aperto della prima è contenuto nella seconda, e fin qui, dunque, mi troverei col risultato che abbiamo ottenuto...
Allora sicuramente la topologia assegnata è meno fine della naturale. La naturale però non è meno fine della topologia assegnata (ciò mi garantisce la non equivalenza tra le due topologie) poichè i dischi della topologia naturale che incontrano T non sono aperti della topologia assegnata.
Veramente sono topologie non confrontabili proprio a causa di \(T\)!
Vedi bene...
Vedi bene...
E' questo il mio dubbio, perchè se dico che deve contenere un aperto, allora T, non è contenuto in un disco di centro (0,0) e raggio maggiore di 1? Se invece dico è un aperto, allora mi trovo col fatto che T non è un aperto.
Ti ho già scritto la definizione che trovi sul Tallini; quella che utilizzi tu (cioè per ogni aperto in \(\mathcal{A}_1\) esiste un aperto in \(\mathcal{A}_2\) che lo contiene) è troppo debole, utilizzando la duale coi chiusi otterresti (per come tu ragioni) che le topologie cofinite e delle semirette su \(\mathbb{R}\) sono confrontabili.
Ok, allora avevo capito bene, le due definizioni non sono equivalenti, devo controllare ogni volta che un aperto è un aperto, non che è contenuto in un aperto.
Grazie mille per la pazienza
Grazie mille per la pazienza
"biggest":
Il "Tallini" dice che una topologia è meno fine di un altra se ogni aperto della prima è contenuto nella seconda
Ma sei sicuro??? Mi pare proprio strano, come osservato pure da Armando. Non sarà che si parla di intorni (una topologia è meno fine di un'altra sse ogni intorno della prima contiene un intorno della seconda)? Così mi pare si ottenga una definizione equivalente a quella usuale di topologia meno fine.
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