Ex - Curva regolare parametrizzata

[Seneca1]

Esercizio: Assegnata la curva $alpha$ di $RR^3$ data da $alpha(t) = ( 1 , (1 + t)/2 , (1 - t^2)/t )$,

determinare i punti di flesso, curvatura e torsione.

Svolgimento:

La curva $alpha$ è regolare; infatti $alpha'(t) != (0,0,0)$ , $AA t$. Calcolando esplicitamente:

$d/(dt) alpha (t) = alpha'(t) = (0 , 1/2 , - (t^2 + 1)/t^2)$

$d/(dt) alpha ' (t) = alpha''(t) = (0 , 0 , 2/t^3)$

Notorio che $(alpha' ^^ alpha'')(t) != 0$ (*) se e solo se $alpha(t)$ è un punto non di flesso. Poiché la (*) è verificata per ogni valore di $t != 0$ , la curva, laddove definita, risulta priva di punti di flesso.

La curvatura si ottiene da $k(t) = (||alpha'(t) ^^ alpha''(t)||)/(||alpha'(t)||^3)$.

$||alpha'(t) ^^ alpha''(t)|| = $

$= || (( |(1/2,-(t^2 + 1)/t^2),(0,2/t^3)|"," |(0,-(t^2 + 1)/t^2),(0,2/t^3)|"," |(0,1/2),(0,0)| )) || =$

$= |1/t^3|$ .

$||alpha'(t)|| = sqrt ( 1/4 + (t^2 + 1)^2/t^4 ) = 1/(2t^2) sqrt( 2t^4 + 2t^2 + 1)$

Quindi $k(t) = 2 t^2/( |t^3| sqrt( 2t^4 + 2t^2 + 1) ) = 2/( |t| sqrt( 2t^4 + 2t^2 + 1) )$.


Fino a questo punto è corretto? Qualcuno ha la pazienza di controllare?

[Sk_Anonymous]

"Seneca":
$||alpha'(t)||=sqrt(1/4+(t^2 + 1)^2/t^4)=1/(2t^2)sqrt(2t^4+2t^2+1)$

A me pare $||alpha'(t)||=sqrt(1/4+(t^2 + 1)^2/t^4)=1/(2t^2)sqrt(5t^4+8t^2+4)$, hai dimenticato di moltiplicare per $4$ nel ridurre il radicando ad un'unica frazione.

"Seneca":
Quindi $k(t)=2t^2/(|t^3|sqrt(2t^4+2t^2+1))=2/(|t|sqrt(2t^4+2t^2+1))$.

Credo che tu abbia dimenticato di elevare alla terza il denominatore.

[Seneca1]

Sì, scusami, mi sono distratto ieri. Grazie Speculor.