Matrice polinomiale
Il professore di teoria dei sistemi ci ha introdotto la seguente (e ben nota per un controllista) matrice, che ha chiamato matrice polinomiale di ordine m:
$p(A)=a_m*A^m+...+a_0*I$
Ad ogni nuova definizione sono solito andare a cercarla su internet di modo da definirla nel modo piu' formale possibile.
E mi sono accorto che di una matrice con tale nome non vi e' traccia.
Qualcuno sa riportarmi o indicarmi un sito dove posso trovare una definizione di matrice polinomiale?
Grazie a tutti delle rispote evenutali
$p(A)=a_m*A^m+...+a_0*I$
Ad ogni nuova definizione sono solito andare a cercarla su internet di modo da definirla nel modo piu' formale possibile.
E mi sono accorto che di una matrice con tale nome non vi e' traccia.
Qualcuno sa riportarmi o indicarmi un sito dove posso trovare una definizione di matrice polinomiale?
Grazie a tutti delle rispote evenutali
Risposte
La definizione mi sembra "autoesplicativa". Forse sei più interessato alle sue proprietà.
Chi sono gli $a_i$?
suppongo siano coefficienti reali
il punto e' che la definizione c'è stata data in maniera a mio avviso molto piu' brutta rispetto a come l'ho riportata.
La riporto in maniera completa:
preso un generico polinomio di ordine m:
$p(\lambda)=a_m*\lambda^m+...+a_0*\lambda^0$
Sostituendo formalmente la matrice A a lambda ottengo la matrice polinomiale p(A).
A me personalmente come definizione fa un po' schifo
il punto e' che la definizione c'è stata data in maniera a mio avviso molto piu' brutta rispetto a come l'ho riportata.
La riporto in maniera completa:
preso un generico polinomio di ordine m:
$p(\lambda)=a_m*\lambda^m+...+a_0*\lambda^0$
Sostituendo formalmente la matrice A a lambda ottengo la matrice polinomiale p(A).
A me personalmente come definizione fa un po' schifo
Magari, puoi sentirti più appagato riflettendo sulla seguente proprietà: se $\lambda$ è un autovalore di $A$ allora $p(\lambda)$ è un autovalore di $p(A)$. Tra l'altro, questa proprietà si rivela molto utile quando è possibile diagonalizzarla.
si' quella e' una proprieta' dell p(A) che abbiamo dimostrato
solo che prima va definita correttamente questa p(A), ora io mi limitavo a definirla come ad inizio thread
solo che non sono uno studente di matematica, quindi ogno volta che definisco formalmente un oggetto matematico cerco la definizione su internet, per essere sicuro di non aver perso nessuna sottigliezza
solo che prima va definita correttamente questa p(A), ora io mi limitavo a definirla come ad inizio thread
solo che non sono uno studente di matematica, quindi ogno volta che definisco formalmente un oggetto matematico cerco la definizione su internet, per essere sicuro di non aver perso nessuna sottigliezza
Temo che dovrai accontentarti di quella definizione. Tra l'altro, non difetta di sinteticità.
ok, allora mi metto l'anima in pace 
Ma che cosa ti turba? Dato un polinomio, definire il corrispondente polinomio di matrice è perfettamente naturale e giustamente il tuo prof non ha voluto dilungarsi su questo. Diverso sarebbe se avessi voluto definire, per esempio, la radice quadrata di una matrice. O l'esponenziale di una matrice. Tutte operazioni che si fanno nella pratica, sono utili, e richiedono un livello di attenzione al dettaglio superiore.
Per la cronaca, la possibilità di calcolare funzioni di un operatore (o di una matrice) si chiama calcolo funzionale.
Per la cronaca, la possibilità di calcolare funzioni di un operatore (o di una matrice) si chiama calcolo funzionale.
si' certo la matrice esponenziale l'ho studiata e c'e' stata definita con precisione... per quanto riguarda la matrice radice com'è definita? e a cosa serve?
"dzcosimo":E allora non riesco proprio a capire i tuoi dubbi riguardo un polinomio di matrice. Se una scrittura come
si' certo la matrice esponenziale l'ho studiata e c'e' stata definita con precisione...
\[I+A+\frac{A^2}{2}+\frac{A^3}{3!}+\ldots\]
non ti turba, perché dovrebbe turbarti
\[a_0I+a_1A+a_2A^2+\ldots +a_nA^n?\]
Anzi, in quest'ultimo caso la somma è pure finita e non devi preoccuparti di nessuna questione di convergenza. In generale, come hai definito l'esponenziale puoi definire una funzione analitica di matrice come somma di una serie di potenze, quindi come limite di una particolare successione di polinomi di matrice. Naturalmente devi assicurarti che la serie converga.
per quanto riguarda la matrice radice com'è definita? e a cosa serve?La radice quadrata di una matrice \(A\), se esiste, è l'unica matrice \(X\) tale che \(X^2=A\) e \(AX=XA\). Si scrive \(X=\sqrt{A}\). Dire "a cosa serve" è difficile quanto dire a cosa serve la radice quadrata di un numero reale. Ti posso citare una applicazione (relativamente) semplice ma piuttosto importante.
Supponi di avere due matrici simmetriche \(A, B\) semidefinite positive, ovvero \(Ax\cdot x \ge 0,\ By \cdot y \ge 0\) per ogni \(x, y\). E' vero che il prodotto \(AB\) è semidefinito positivo? La risposta è no, però diventa si se le due matrici commutano: \(AB=BA\). Infatti in questo caso puoi osservare che
\[ABx\cdot x=\sqrt{A}Bx\cdot \sqrt{A}x=B\sqrt{A}x\cdot \sqrt{A}x=By\cdot y \ge 0,\]
per ogni \(x\). (Si usano qui vari fatti: una matrice simmetrica semidefinita positiva ammette radice quadrata ed essa commuta con \(B\) perché \(B\) commuta con \(A\)).
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