Operatore $star$ di Hodge per forme differenziali

[Paolo902]

Leggo (e traduco liberamente) dal Do Carmo, "Differential Forms and applications", Springer:

Data una $k$-forma $\omega$ in $RR^n$ si definisce a partire da $omega$ una $(n-k)$-forma $star omega$ ponendo
$star (dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} wedge ldots wedge dx_{i_k}) = (-1)^{|sigma|}(dx_{j_1} \wedge dx_{j_2} wedge ldots wedge dx_{j_{n-k}})$ e estendendo poi per linearità; nella riga precedente, si intende $i_1 < i_2 < ldots


Domanda: perché, in $RR^{3}$, $\star (dx_1 \wedge dx_3) = - dx_2$? La permutazione $sigma=(132)$ è visibilmente pari, no? Il problema è che non capisco dalla definizione come costruirmi la $sigma$; o meglio, ottengo sempre un ciclo di lunghezza $n$ (e quindi la parità è fissa!). Mi chiarite la definizione, per piacere?

Scusate il dubbio scemo.

[dissonance]

Non lo so se è pertinente, ma io recentemente mi sono fatto ingannare dalla scrittura \((i j k)\). Certe volte essa significa "la mappa di \(\{1, 2, 3\}\) in sé che applica \(i\) in \(j\), \(j\) in \(k\) e \(k\) in \(i\)". Certe altre essa significa "la mappa che applica \(1\) in \(i\), \(2\) in \(j\), \(3\) in \(k\)" e queste sono cose diverse. Che sia anche il tuo caso?

[Paolo902]

Ah, ecco!

Ho capito, grazie. Sì, direi che è proprio il mio caso: ora finalmente è chiaro che cosa volesse dire.

In effetti, se interpretiamo la scrittura $(132)$ come $ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 3 , 2 ) ) $ (almeno su questa scrittura non dovrebbero esserci ambiguità!) allora questo è chiaramente un ciclo e quindi è dispari!

Grazie mille.