Completamento di uno spazio metrico
Per completare uno spazio metrico non completo $X$ considero $\overline{X}$ formato dalle classi si equivalenza $[\{s_n\}]$ delle successioni di Cauchy in $X$ con $\{x_n\}\sim \{y_n\}$ se $lim_{n->\infty}d(x_n, y_n)=0$. Ho il completamento $\overline{X}$. Devo dimostrare che è effettivamente un completamento, quindi:
$1.$ $\overline{X}$ è unico a meno di isometrie.
$2.$ $X$ e $\overline{X}$ sono isometrici.
$3.$ $\overline{X}$ è uno spazio metrico.
$4.$ $Im(X)$ immagine di una isometria con $\overline{X}$ è denso in $\overline{X}$.
$5.$ $\overline{X}$ è completo.
$1.$ L'ho capita.
$2.$ L'ho capita.
$3.$ Devo costruire una distanza. Prendo due successioni di Cauchy in $X$ $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$. Da dove tiro fuori che:
->$d(x_n, y_n) <= d(x_n, x_m) + d(x_m, y_m) + d(y_m, y_n)$
$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| <= d(x_n, x_m) + d(y_m, y_n)$
E che quindi $\{d(x_n, y_n)\}$ è di Cauchy?
$1.$ $\overline{X}$ è unico a meno di isometrie.
$2.$ $X$ e $\overline{X}$ sono isometrici.
$3.$ $\overline{X}$ è uno spazio metrico.
$4.$ $Im(X)$ immagine di una isometria con $\overline{X}$ è denso in $\overline{X}$.
$5.$ $\overline{X}$ è completo.
$1.$ L'ho capita.
$2.$ L'ho capita.
$3.$ Devo costruire una distanza. Prendo due successioni di Cauchy in $X$ $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$. Da dove tiro fuori che:
->$d(x_n, y_n) <= d(x_n, x_m) + d(x_m, y_m) + d(y_m, y_n)$
$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| <= d(x_n, x_m) + d(y_m, y_n)$
E che quindi $\{d(x_n, y_n)\}$ è di Cauchy?
Risposte
Disuguaglianza triangolare applicata due volte. Osserva, visivamente, che se vai direttamente da \(x_n\) ad \(y_n\) fai meno strada che andando da \(x_n\) ad \(x_m\), poi da \(x_m\) ad \(y_m\) e poi da \(y_m\) ad \(y_n\).
(Questa è l'idea della disuguaglianza triangolare: in uno spazio metrico, si fa meno strada ad andare direttamente da un punto all'altro).
(Questa è l'idea della disuguaglianza triangolare: in uno spazio metrico, si fa meno strada ad andare direttamente da un punto all'altro).
Ma poi perché mette il valore assoluto e dice che $\{d(x_n, y_n)\}$ è di Cauchy? A me basterebbe dire che è una composizione di due funzioni di Cauchy e quindi è di Cauchy. A che servono i passaggi precedenti?
Perché non conosci se a priori se quella differenza è positiva o no; inoltre, essendo quelle successioni di Cauchy cosa puoi affermare (tramite la definizione) sui termini al secondo termine della diseguaglianza?
"5mrkv":
composizione di due funzioni di Cauchy
E che cosa sarebbe una "funzione di Cauchy"? No, no, non dire fesserie. Scusa, considera la successione numerica \(\{\xi_n\}_{n \in \mathbb{N}}=\{d(x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}}\)- Scrivi esplicitamente la condizione di Cauchy per \(\{\xi_n\}_{n \in \mathbb{N}}\). Così capirai cosa stai cercando di ottenere.
Eh, volevo dire successioni non funzioni, comunque ok 
Potrebbe essere per $\{\zeta_n\}=\{d(x_n, y_n)\}$, $d(\zeta_n, \zeta_m) <= d(\zeta_n, \zeta) + d(\zeta_m, \zeta) => d(d(x_n, y_n), d(x_m, y_m)) <= d(d(x_n, y_n), d(x, y)) + d(d(x_m, y_m), d(x, y))$ e poi come sviluppo la distanza della distanza? Con la norma? $|d(x_m, y_m)-d(x_n, y_n) |<= d(x_n, y_n) + d(x_m, y_m)$ che non combacia proprio con la precedente.
Potrebbe essere per $\{\zeta_n\}=\{d(x_n, y_n)\}$, $d(\zeta_n, \zeta_m) <= d(\zeta_n, \zeta) + d(\zeta_m, \zeta) => d(d(x_n, y_n), d(x_m, y_m)) <= d(d(x_n, y_n), d(x, y)) + d(d(x_m, y_m), d(x, y))$ e poi come sviluppo la distanza della distanza? Con la norma? $|d(x_m, y_m)-d(x_n, y_n) |<= d(x_n, y_n) + d(x_m, y_m)$ che non combacia proprio con la precedente.
Non scrivere "distanza della distanza", ti porterà solo confusione. Le distanze sono numeri e la condizione di Cauchy per \(\zeta_n\) è
\[\forall \varepsilon\ \exists N\ \text{t.c.}\ \forall n, m \ge N,\ \lvert \zeta_n-\zeta_m \rvert \le \varepsilon.\]
Quindi ci dobbiamo procurare una disuguaglianza con \(\lvert d(x_n, y_n)-d(x_m, y_m)\rvert \) al primo membro. Quella che hai trovato tu nell'ultimo post non va bene, perciò bisogna cercare ancora. Lidea è di partire da un'altra disuguaglianza, quella triangolare:
\[d(x_n, y_n)\le d(x_n, y_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)\]
e poi portare a primo membro il termine \(d(x_m, y_m)\). Si ottiene
\[(1)\qquad d(x_n, y_n)-d(x_m,y_m)\le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n)\]
che è quasi buona, se solo il membro sinistro fosse in valore assoluto... Però, si può rifare daccapo tutto il ragionamento scambiando \(n\) ed \(m\). Si ottiene così la
\[(2)\qquad d(x_m, y_m)-d(x_n,y_n) \le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n).\]
La (1) e la (2) combinate si riassumono in
\[\lvert d(x_n, y_n)-d(x_m,y_m)\rvert \le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n), \]
e questa ci va bene, direi.
\[\forall \varepsilon\ \exists N\ \text{t.c.}\ \forall n, m \ge N,\ \lvert \zeta_n-\zeta_m \rvert \le \varepsilon.\]
Quindi ci dobbiamo procurare una disuguaglianza con \(\lvert d(x_n, y_n)-d(x_m, y_m)\rvert \) al primo membro. Quella che hai trovato tu nell'ultimo post non va bene, perciò bisogna cercare ancora. Lidea è di partire da un'altra disuguaglianza, quella triangolare:
\[d(x_n, y_n)\le d(x_n, y_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)\]
e poi portare a primo membro il termine \(d(x_m, y_m)\). Si ottiene
\[(1)\qquad d(x_n, y_n)-d(x_m,y_m)\le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n)\]
che è quasi buona, se solo il membro sinistro fosse in valore assoluto... Però, si può rifare daccapo tutto il ragionamento scambiando \(n\) ed \(m\). Si ottiene così la
\[(2)\qquad d(x_m, y_m)-d(x_n,y_n) \le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n).\]
La (1) e la (2) combinate si riassumono in
\[\lvert d(x_n, y_n)-d(x_m,y_m)\rvert \le d(x_n, y_m)+d(y_m,y_n), \]
e questa ci va bene, direi.
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