Esercizio sulle basi
Salve a tutti, mi sono imbattuto ne seguente esercizio:
Data la base $S:={v1,v2,v3,v4}$ , dove:
$v1=|(1,1),(1,-1)|$; $v2=|(0,1),(1,0)|$; $v3=|(-1,1),(0,0)|$; $v4=|(-1,0),(0,0)|$;
Si determini il vettore delle componenti $vs$ nella base $S$: $v=|(2,3),(4,-7)|$
Il problema è il seguente,in altri esercizi i vettori venivano dati nella forma: $vn={v1,v2,...,vn}$ , ma in questo caso i vettori $v1, v2, v3, v4$ son in forma di matrice quadrata. Come procedo per la soluzione dell'esercizio?
Data la base $S:={v1,v2,v3,v4}$ , dove:
$v1=|(1,1),(1,-1)|$; $v2=|(0,1),(1,0)|$; $v3=|(-1,1),(0,0)|$; $v4=|(-1,0),(0,0)|$;
Si determini il vettore delle componenti $vs$ nella base $S$: $v=|(2,3),(4,-7)|$
Il problema è il seguente,in altri esercizi i vettori venivano dati nella forma: $vn={v1,v2,...,vn}$ , ma in questo caso i vettori $v1, v2, v3, v4$ son in forma di matrice quadrata. Come procedo per la soluzione dell'esercizio?
Risposte
"Tatasala":
[...]
Il problema è il seguente,in altri esercizi i vettori venivano dati nella forma: $vn={v1,v2,...,vn}$ , ma in questo caso i vettori $v1, v2, v3, v4$ son in forma di matrice quadrata. Come procedo per la soluzione dell'esercizio?
Se ho ben capito il tuo dubbio, la risposta è: come al solito.
Anche l'insieme delle matrici forma uno spazio vettoriale. Trattale come vettori.
Grazie Delirium per la risposta, ma come faccio a trattare le matrici come vettori? Mi spiego meglio, per determiare il vettore delle componenti $vs$ nella base $S$ con vettori nella forma $vn={v1,v2,...,vn}$ uso questo procedimento:
$λ1((1),(0),(0),(0))+λ2((0),(1),(0),(0))+λ3((0),(0),(1),(0))+λ4((0),(0),(0),(1))$
da cui poi ricavavo:
$((λ1),(λ2),(λ3),(λ4))$
che rappresentano le componenti $vs$ nella base $S$
Con i dati forniti dall'esercizio e cioè con i vettori in forma di matrice quadrata come imposto la soluzione? come ricavo l'incognita λ se ho il vettore $v=|(2,3),(4,-7)|$ ?
$λ1((1),(0),(0),(0))+λ2((0),(1),(0),(0))+λ3((0),(0),(1),(0))+λ4((0),(0),(0),(1))$
da cui poi ricavavo:
$((λ1),(λ2),(λ3),(λ4))$
che rappresentano le componenti $vs$ nella base $S$
Con i dati forniti dall'esercizio e cioè con i vettori in forma di matrice quadrata come imposto la soluzione? come ricavo l'incognita λ se ho il vettore $v=|(2,3),(4,-7)|$ ?
E' tutto molto simile.
Hai:
$\lambda_1 ((1,1),(1,-1))+\lambda_2 ((0,1),(1,0))+\lambda_3 ((-1,1),(0,0))+\lambda_4 ((-1,0),(0,0)) = ((2,3),(4,-7))$
Ad esempio, considerando l'elemento $a^{1,1}$ di ogni matrice, imposti una equazione:
$\lambda_1 -\lambda_3-\lambda_4 =2$
e cosi' per gli altri 3 elementi.
Alla fine hai un sistema di 4 eq. in 4 incognite, risolvi e trovi i 4 $\lambda$.
Hai:
$\lambda_1 ((1,1),(1,-1))+\lambda_2 ((0,1),(1,0))+\lambda_3 ((-1,1),(0,0))+\lambda_4 ((-1,0),(0,0)) = ((2,3),(4,-7))$
Ad esempio, considerando l'elemento $a^{1,1}$ di ogni matrice, imposti una equazione:
$\lambda_1 -\lambda_3-\lambda_4 =2$
e cosi' per gli altri 3 elementi.
Alla fine hai un sistema di 4 eq. in 4 incognite, risolvi e trovi i 4 $\lambda$.
Grazie Quinzio, ora è più chiaro. Era anche abbastanza semplice ma avere una conferma è sempre meglio. Grazie ad entrambi!
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