Autovalori
ragazzi avrei dei dubbi sugli autovalori:
1)innanzitutto, per gli autovettori, come si dimostra che un endomorfismo T rispetto a una base di autovettori è rappresentato da una matrice diagonale?
2)è vero che una matrice è diagonalizzabile se, avendo dim n, ha n autovalori distinti in K? perché per la matrice $((2,2),(2,-2))$ ho trovato che ha come autovalori $2+-2sqrt(2)$ ma hanno molteplicità geometrica 0 quindi non è diagonalizzabile;
3)una matrice diagonale ha per pivots gli autovalori dell'endomorfismo che rappresenta ma in che ordine? questo quesito mi è venuto quando mi chiede di trovare autospazi della matrice $((1,-1),(-1,1))$ e matrice di cambiamento di base che porti alla forma diagonale: questo equivale a risolvere $((a,b),(c,d))A'=((1,-1),(-1,1))((a,b),(c,d))$ ma come costruisco $A'$? in che ordine stanno gli autovalori?
1)innanzitutto, per gli autovettori, come si dimostra che un endomorfismo T rispetto a una base di autovettori è rappresentato da una matrice diagonale?
2)è vero che una matrice è diagonalizzabile se, avendo dim n, ha n autovalori distinti in K? perché per la matrice $((2,2),(2,-2))$ ho trovato che ha come autovalori $2+-2sqrt(2)$ ma hanno molteplicità geometrica 0 quindi non è diagonalizzabile;
3)una matrice diagonale ha per pivots gli autovalori dell'endomorfismo che rappresenta ma in che ordine? questo quesito mi è venuto quando mi chiede di trovare autospazi della matrice $((1,-1),(-1,1))$ e matrice di cambiamento di base che porti alla forma diagonale: questo equivale a risolvere $((a,b),(c,d))A'=((1,-1),(-1,1))((a,b),(c,d))$ ma come costruisco $A'$? in che ordine stanno gli autovalori?
Risposte
altra domanda: come si rappresenta una generica matrice ortogonale?
1. Con la definizione di matrice associata (riguardala, se hai ancora problemi ne riparliamo).
2. C'è un bel teorema che dice: se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$ ha automaticamente molteplicità geometrica $1$. Dunque se la matrice $n\times n$ ha $n$ valori distinti, è diagonalizzabile. Nel tuo caso hai sicuramente sbagliato qualche conto.
3. Nell'ordine che vuoi tu, basta che lo fissi.
4. Se vuoi una condizione sugli elementi, prendi una matrice generica e imponi la condizione di ortogonalità su di essa.
Paola
2. C'è un bel teorema che dice: se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$ ha automaticamente molteplicità geometrica $1$. Dunque se la matrice $n\times n$ ha $n$ valori distinti, è diagonalizzabile. Nel tuo caso hai sicuramente sbagliato qualche conto.
3. Nell'ordine che vuoi tu, basta che lo fissi.
4. Se vuoi una condizione sugli elementi, prendi una matrice generica e imponi la condizione di ortogonalità su di essa.
Paola
Paola allora:
1)ci sono;
2)ho trovato l'errore..ma a questo punto c'è lo stesso problema del tre come trovare la matrice di cambiamento di base? si tratta di quella, in questo caso, che fa passare dalla base canonica alla base di autovettori che ho trovato? o della matrice $B$ tale che $B^(-1)AB=A'$? o le due cose sono le medesime? nel primo caso non ho la base rispetto alla quale si esprime l'endomorfismo, nel secondo non so qual è A' cioè la nuova matrice associata, perché credo che se $1,2,3$ siano autovalori di $T$ $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$ sia diverso da $((2,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$; ho pensato di assumere come base del dominio quella canonica;
4)per trovarla va bene prendere una generica matrice e imporre che la trasposta sia uguale alla inversa?o esistono modi più veloci per farlo?
1)ci sono;
2)ho trovato l'errore..ma a questo punto c'è lo stesso problema del tre come trovare la matrice di cambiamento di base? si tratta di quella, in questo caso, che fa passare dalla base canonica alla base di autovettori che ho trovato? o della matrice $B$ tale che $B^(-1)AB=A'$? o le due cose sono le medesime? nel primo caso non ho la base rispetto alla quale si esprime l'endomorfismo, nel secondo non so qual è A' cioè la nuova matrice associata, perché credo che se $1,2,3$ siano autovalori di $T$ $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$ sia diverso da $((2,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$; ho pensato di assumere come base del dominio quella canonica;
4)per trovarla va bene prendere una generica matrice e imporre che la trasposta sia uguale alla inversa?o esistono modi più veloci per farlo?
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