Scomposizione Polare Destra e Sinistra
Da quanto detto a lezione so che per determinare la scomposizione polare destra di una matrice $A$ occorre definire due matrici $L$ e $P$ tali che $A$=$L$$P$ con $L$>0 e $P$ antisimmetrica.
Prendo, ad esempio la matrice $A$ = $((1,-2),(2,-1))$ e voglio determinarne la scomposizione destra.
Determino $A^t$ = $((1,2),(-2,-1))$ e calcolo $A$ $A^t$ = $((5,4),(4,5))$
A questo punto, attraverso la teoria spettrale determino autovalori (1 e 9) e autovettori ( $((1),(-1))$ e $((1),(1))$ ).
La base spettrale sarà quindi composta da questi due vettori mentre la base spettrale ortonormale la ottengo dividendoli per la loro norma.
Determino la matrice $C$ come la matrice composta dagli elementi della base spettrale ortonormale, la matrice $C^-1$ come la sua inversa e la matrice $\Lambda$ come la matrice diagonale composta dagli autovalori. Determino poi anche la radice quadrata della matrice $\Lambda$.
A questo punto posso determinare $L$ = ($C$)(radice di $\Lambda$)($C^-1$).
Una volta determinata $L$ posso determinare $P$ come $P$ = $L^-1$$A$.
La scomposizione polare destra di $A$ risulterà quindi: $A$ = $L$$P$
Per la radice sinistra attuo lo stesso procedimento considerando però $A^t$$A$ anzichè $A$$A^t$, determino così $L$ e $P$ tali che $A$ = $P$$L$.
E finora tutto bene.
Con un altro esercizio ho avuto alcuni problemi.
$A$ = $((-2,6),(-1,2))$
determino $A^t$ = $((-2,-1),(6,2))$ e $A$ $A^t$ = $((40,14),(14,5))$
Determino il polinomio caratteristico di quest'ultima matrice: $\lambda^2$ - 45$\lambda$ + 4 = 0
Le radici sono $\lambda_(1,2)$ = (45$+-$$sqrt(2009)$)/2.
Da questo punto in poi non riesco più ad andare avanti e a determinare gli autovalori.
Non credo di aver fatto errori di calcolo.
C'è qualche errore nel procedimento generale che ho scritto all'inizio??
Oppure quello non si adatta ad ogni matrice??
Prendo, ad esempio la matrice $A$ = $((1,-2),(2,-1))$ e voglio determinarne la scomposizione destra.
Determino $A^t$ = $((1,2),(-2,-1))$ e calcolo $A$ $A^t$ = $((5,4),(4,5))$
A questo punto, attraverso la teoria spettrale determino autovalori (1 e 9) e autovettori ( $((1),(-1))$ e $((1),(1))$ ).
La base spettrale sarà quindi composta da questi due vettori mentre la base spettrale ortonormale la ottengo dividendoli per la loro norma.
Determino la matrice $C$ come la matrice composta dagli elementi della base spettrale ortonormale, la matrice $C^-1$ come la sua inversa e la matrice $\Lambda$ come la matrice diagonale composta dagli autovalori. Determino poi anche la radice quadrata della matrice $\Lambda$.
A questo punto posso determinare $L$ = ($C$)(radice di $\Lambda$)($C^-1$).
Una volta determinata $L$ posso determinare $P$ come $P$ = $L^-1$$A$.
La scomposizione polare destra di $A$ risulterà quindi: $A$ = $L$$P$
Per la radice sinistra attuo lo stesso procedimento considerando però $A^t$$A$ anzichè $A$$A^t$, determino così $L$ e $P$ tali che $A$ = $P$$L$.
E finora tutto bene.
Con un altro esercizio ho avuto alcuni problemi.
$A$ = $((-2,6),(-1,2))$
determino $A^t$ = $((-2,-1),(6,2))$ e $A$ $A^t$ = $((40,14),(14,5))$
Determino il polinomio caratteristico di quest'ultima matrice: $\lambda^2$ - 45$\lambda$ + 4 = 0
Le radici sono $\lambda_(1,2)$ = (45$+-$$sqrt(2009)$)/2.
Da questo punto in poi non riesco più ad andare avanti e a determinare gli autovalori.
Non credo di aver fatto errori di calcolo.
C'è qualche errore nel procedimento generale che ho scritto all'inizio??
Oppure quello non si adatta ad ogni matrice??
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