Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho un esercizio da proporvi dato che la mia soluzione (che comunque scriverò visto il regolamento) non mi soddisfa.
Fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k) nello spazio euclideo tridimensionale, consideriamo il
piano α di equazione $2x-y-2z=1$ e la retta r intersezione dei piani $x=y$ e $z=2$
a) Calcolare le coordinate del punto A dove r interseca α e le
equazioni parametriche della retta u, passante per A ed
ortogonale ad α.
b) Calcolare le equazioni ...
Salve ragazzi mi sono bloccato cn questo esercizio...
Si trovino i piani passanti per$ P (1,0,0) $perpendicolari al piano$ π:x+2z=0 $ed aventi distanza $1$ dalla retta $r$ di equazioni $\{(y=1),(z=2x-1):}$
Allora per individuare in modo univoco il piano mi servono due direzioni che lo generano e un punto che gli appartenga. Il punto ce l'ho già: P=(1,0,0), una delle due direzioni anche. Infatti la perpendicolarità rispetto al piano $\pi$ equivale ...
Come faccio a provare che la cardinalità di uno spazio vettoriale finito V è pari alla cardinalità del campo K su cui è definito elevato alla dimensione di V??? Posso usare la somma diretta??? Io sono arrivato a dire che in questo caso, se dim V=n e se |K|= p, allora lo spazio vettoriale è diviso in p sottospazi disgiunti di n elementi. E poi come continuo? Grazie.
Ciao ragazzi mi potreste aiutare con questo esercizio?
Determinare, se possibile, un piano appartenente al fascio avente per asse la retta r:
r:$\{(x=1+t),(y=2t),(z=1-3t):}$
ed ortogonale alla retta s:
s:$\{(x + y -z+2 = 0),(3x+5y=0):}$
.....non so come impostarlo
Salve ragazzi ho questo dubbio...
Dati i vettori $\vec u(1,0,2) \vec v(-1,3,4) \vec w(a,b,1)$ devo trovare per quali valori di $a$ e $b$ il vettore $\vec w$ è perpendicolare ai vettori $\vec u$ e $\vec v$ . Allora mi è venuto in mente il prodotto misto di 3 vettori, mettendo a matrice i 3 vettori il determinante deve essere nullo o diverso da zero? E' giusto come sto procedendo? se no come si fa?
Volevo un piccolo chiarimento su questo esercizio e verificare se la mia idea di risoluzione fosse giusta:
Data una matrice $C = ((-2,1,3,1/2),(2,0,-4,1),(3,-1,-5,0))$:
1) Stabilire se l'applicazione lineare associata alla matrice $C$ è iniettiva;
2) Stabilire se il vettore $\vec v= (1, 0, -2)^T$ appartiene all'immagine di tale applicazione lineare; (Cioè se il sistema $C \vec x = \vec v$ è compatibile);
1) Per verificare se l'applicazione lineare associata alla matrice data è iniettiva ho moltiplicato la ...
Bundi'!! Sto facendo degli esercizi di alcuni compiti passati e mi è capitato questo :
Determinare , se esistono, i valori di $ k in R $ per i quali non puo' esistere una trasformazione lineare $ f:R^2->R^3 $ tale che $ f(k,2)= (-3,-1,+k) $ , $ f(2,k)= (-3,-1,-2) $ . Calcolare poi $ m= k^3-3k+5 $ .
Il mio problema è che non capisco che devo fare.. come trovo il valore di $ k $ ? Come imposto il problema? Grazie.
Ho trovato un esercizio che non riesco a completare (che sono sicura mi capiterà all'esame) potreste aiutarmi?
Sia V=$RR_2$[t] lo spazio dei polinomi $<=$ 2 e W lo spazio delle matrici simmetriche 2x2; data l'applicazione lineare $f:V \to W$ definita da f(a+$b*t$+$c*t$^2)=$[[a-b,a+c],[a+c,a-b]]$ Si scriva la matrice A$=_B'$$[f]_B$ che esprime f rispetto alle basi B=(1+t,1-t,t^2) e B'=($[[1,1],[1,1]]$ , $[[1,0],[0,1]]$ , ...
Salve,
potreste dirmi se procedo bene o male?
Devo trovare l'equazione di due piani $π: ax+by+cz+d=0$ e $σ: a'x+b'y+c'z+d'=0$ tali da essere perpendicolari alla retta di equazione $ { ( x=-1 ),( y=3+2t ),( z=1-t ):} $ e che hanno distanza 1 dal punto O(0,0,0).
Ho fatto così:
Ho trovato il piano che contiene la retta r, trovandomi un punto di r, ad esempio P (-1,5,0), dato che la retta ha equazione cartesiana $ { ( x=-1 ),( y=3-2z+2 ):} $, il vettore direttore della retta è $v=(0,2,-1)$ e quindi il piano ...
Supponiamo che voglia calcolarmi se un'appl. lineare è lineare o affine. Per vedere se è lineare posso sostituire lo 0 alle incognite e se ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$ allora è lineare? Ma non dipnde anche dalla funzione stessa? Cioè:
$f1(x,y)=(x-2y,x+y,x+y)$ -> a me risulta lineare, sostituisco lo 0 e ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$. Ma è sempre cosi? Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?
Inoltre: Un appl. lineare è sempre affine, ma un appl affine non è ...
Ciao a tutti, ho qualche problema a seguire la spiegazione del libro su questo esempio:
Esercizio:
L(x,y,z) = $(2x +2y +z, x+3y+z, x+2y+2x)$
Verificare che 1 e 5 sono autovalori e determinare gli autospazi ad essi relativi.
Determinare che sono autovalori è un giochetto, il rango di [tex]A - \lambda I_3[/tex] dove A è la matrice associata all'applicazione lineare $A = ((2,2,1),(1,3,1),(1,2,2))$ è minore di 3 perciò sono autovalori.
Ora però devo calcolare gli autospazi. Il libro dice:
Le soluzioni del sistema ...
Buongiorno,se ho un prodotto scalare definito da $<p(t),q(t)>=p'(0)q(1)+p(1)q'(0)+4p''(1)q''(1)-p(1)q(1)$ come stabilisco se è degenere o no senza scrivere la matrice associata?grazie
Allora...sono giorni che sto cercando di capire una parte di questo esercizio sulle applicazioni lineari.
Sia $f$ l'app. li. così definita:
$f(x, y, x) = (x-y+3z, 2x-z, x+y-4z, 3x-y+2z)$
determinare:
a) una matrice associata a $f$, rispetto alle basi canoniche;
b) equazioni cartesiane, una base e la dimensione del $Kerf$;
c) equazioni parametriche di $Imf$ , una base e la dimensione di $Imf$;
d) se $f$ è iniettiva e /o suriettiva
io ...
Ho questo simpatico esercizio:
"Siano $V$ uno spazio vettoriale e $U$ , $W$ due sottospazi. Sia $f: U \times W \to V$ l'applicazione $f(u,w)=u+w$.
i) Dimostrare che $f$ è lineare
ii) Determinare il nucleo $Ker(f)$ e l'immagine $Im(f)$
iii) Applicare la formula di dimensione per applicazioni lineari: cosa si nota?"
Allora per il punto i):
Prendo un altro vettore $(u_1,w_1) \in U \times V$ e verifico che $f$ sia ...
Guardando le vecchie prove scritte di geometria ho notato un esercizio per il quale non riesco a trovare una via risolutiva.
Il testo dice:
Determinare un punto A sull'asse \( x \) , un punto B sull'asse \( y \) , un punto C sull'asse \( z \) in modo che il triangolo \( ABC \) abbia lati di lunghezze 5, 17 e 20.
Ho provato a fissare la coordinata del punto A, e poi ho stabilito (senza alcun criterio) che il lato AB doveva essere lungo 20 il lato BC 17 e il lato AC 5...ma naturalmente non ho ...
Salve a tutti, quando durante il corso il prof ci ha spiegato le proprietà dei determinanti, dopo il teorema di laplace, ci ha accennato il cosiddetto torema di laplace generalizzato. L'enunciato è il seguente:
Sia A una matrice quadrata di ordine n. Fissate k righe di A il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti dei minori estratti dalle k righe per i rispettivi cofattori.
Il problema è che poi ci ha fatto questo esempio:
\(\displaystyle ...
Ciao a tutti,
Il mio obiettivo è di conoscere le coordinate di un punto X, di cui conosco le cooodinate nella base canonica, in nuovo sistema di riferimento dove l'origine (O) è traslata e i versori non sono ortogonali. Conosco inoltre le coordinate della nuova origine (O') nella base canonica, e le coordinate dei versori del nuovo sistema di riferimento rispetto la nuova origine.
Inoltre ho bisogno anche del contrario, ossia noto un punto nel nuovo sistema (X') di riferimento, ho bisogno delle ...
\(\ A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 & 1 \\ a & -1 & 0 & a \\ a-2 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}
\)
Salve, mi sto preparando per un esame di matematica generale.. E' da un pomeriggio che cerco di risolvere problemi su matrici di tipo come qui sopra. E sono arrivata alla conclusione che devo usare il teorema deglio orlati.
Il problema mi pone 5 possibilità
1) Se a diverso da -1 r(A)=2
2) Se a diverso da 1 r(A)=3
3) Se a=1 r(A)=3
4) Se a=-1 r(A)=2
5) Nessuna delle precedenti ...
Salve!
"Avendo la funzione $f : R^3--->R^4$ individuata dalla matrice $A=((0,1,1,h),(1,-1,0,-1),(1,0,1,0))$, determinare una base del $N(f)$ e del $Im(f)$ al variare di $h$".
Io ho calcolato dapprima la $dim(Im(f))$ tramite il $rg(A)$, ed ho che per $h=1$ $dim(Im(f))=2$ e $dim(N(f))=2$, mentre per $h!=0$ $dim(Im(f))=3$ e $dim(N(f))=1$. Per calcolarmi una base per il $N(f)$ ho imposto il sistema omogeneo ...
Salve a tutti, ho provato a cercare nel forum, ma non ho trovato nulla, io ho questo esercizio:
Si indichi una matrice $ A in R^(3x3) $ verificante le proprietà:
$ V = { x in R^3 : 3x1 + 5x2 -x3 = 0 } $ e $ W= ( ( 3 ),( 5 ),( -1 ) ) $ sono entrambi auto spazi di A
$ A^2 = 5I $
Io ho fatto in questo modo:
Ho trovato una base di V
$ V =(: ( ( 1 ),( 0 ),( 3 ) ) ; ( ( 0 ),(1),( 5 ) ):) $
Poi ho fatto in maniera che gli autovalori siano $ sqrt(5) $ con molteplicità 2 e $ -sqrt(5) $ in pratica avrei:
$ A((1),(0),(3)) = sqrt(5) ((1),(0),(3)); $ ...
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